pierwiastki wielomianowe Promyczek: Niech W(x)= x2 + mx + 36. a) Wyznacz te wartości parametru m, dla których W(x)=0 ma dwa różne pierwiastki dodatnie. b) Dla jakich wartości parametru m, równanie W(x)/x−4=0 ma jeden pierwiastek?

Jack: a) Δ>0 i x₁*x₂>0 i x₁+x₂>0 b) zauważ, że są możliwe dwa przypadki: albo dobierzesz takie "m", że Ci się skróci wielomian W(x) z (x−4), albo nic się nie skróci, a licznik będzie miał jeden pierwiastek (wtedy Δ=0).

Godzio: co do b) W(4) ≠ 0 i to trzeba będzie wykluczyć w rozwiązaniu bo inaczej bedzie sprzecznosc tak mi się przynajmniej wydaje

Jack: Wg mnie ważne, żeby x≠4 (a tym samym nie ma sensu liczenie W(4) ), natomiast nic nie stoi na przeszkodzie żeby W(x) się rozkładał na W(x)=(x−4)(x−x₂).

hahnne: Nie rozumiem wytłumaczenia do podpunktu B. Jakie dwa przypadki? To, że delta ma być równa zero rozumiem (wtedy istotnie jest jeden pierwiastek), ale o co chodzi z tym "dobieraniem" m?

jikA: Ustalając dziedzinę dostajesz D = R / {4} więc dla x = 4 równanie to nie ma sensu liczbowego jeżeli Twój wielomian W(x) będzie miał dwa pierwiastki z czego jeden będzie równy x = 4 otrzymasz tylko jeden pierwiastek ponieważ ten x = 4 wyklucza Ci dziedzina. W(4) = 0 ⇒ 4² + 4m + 36 = 0 ⇒ m = −13 więc dla tego m mamy jeden z pierwiasteków równy x = 4 x² − 13x + 36 = (x − 4)(x − 9)

(x − 4)(x − 9)
	= 0 dla x ≠ 4 upraszczamy wyrażenie i mamy
x − 4

x − 9 = 0 a więc tylko jeden pierwiastek.

hahnne: Jeju, jikA, dziękuję Ci bardzo! Wszystko rozumiem

Maciej: jeszcze trzeba rozpatrzyć wariant dla m=−12 i m=12, gdyż wychodzi odpowiednio 6 i −6. Można tak zrobić, gdyż gdy licznik jest równy 0, a mianownik≠0 to W(x)/x−4=0 nadal jest prawdziwe