Zadanko Godzio: Kolejne zadanko do sprawdzenia: Wśród trójkątów równoramiennych wpisanych w koło o promieniu znaleźć ten, który ma największe pole. h = 2h_y + h_x = h_x + R 2h_y = R

	R
hy =
	2

	1
R2 − hy2 =		a2
	4

4R² − R² = a² 3R² = a² a = R√3

	1
(R+hx)2 +		b2 = a2
	4

	1
hx2 +		b2 = R2 −
	4

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− R² + 2Rh_x = 2R² 2Rh_x = R²

	R2		R
hx =		=
	2R		2

	1
hx2 +		b2 = R2
	4

b² = 3R² b = R√3

	b*h		R√3 * 1,5R		3
P =		=		=		R2√3
	2		2		4

I niby wszystko ok, odpowiedź się zgadza ale jakoś tak dziwnie.

Godzio: ponawiam

Lucyna: Godzio oświeć mnie, bo siedzę i myślę i jakoś nie mogę dojść do sensownej konkluzji... skąd się wzięła ta równość: h = 2h_y + h_x

Lucyna: no i tak jakby, ale zawsze mi się wydawało, że wysokość trójkąta równoramiennego opuszczona na ramię nie dzieli boku na dwie równe połowy.

Godzio: h = 2h_y + h_x − wzięło się z tego, że jest takie coś że odcinki łączące dowolny punkt w trójkącie z bokami (pod kątem prostym) są równe wysokości x + y + z = h a ta wysokość to zawsze dzieli na pół w równoramiennym

Lucyna: dzięki, to idę to przetrawić na spacerku

Godzio: Podbijam

kanikuła: Δ jest równoboczny ...ok Ja liczę tak : γ −−kąt między ramionami γ €(0, 180⁾

	R2*sin2γ		R2*sin( 180o−γ)
P=		+ 2*
	2		2

P(γ)= R²*sinγcosγ+ R²*sinγ P(γ)= R²sinγ( cosγ+1) liczę pochodną P^'(γ)= R²*[cosγ*(cosγ+1) + sinγ*(−sinγ)] = R²( cos²γ+cosγ − sin²γ) P^'(γ)= 0 <=> cos²γ +cosγ −1+cos²γ =0 2cos²γ+cosγ−1= 0 Δ=9 cosγ= ¹₂ v cosγ= −1−−− odrzucamy γ= 60^o Najmniejsze pole ma Δ− jest równoboczny

	a√3
R=
	3

a= R√3

	3R2√3
P=
	4

Bogdan ...... poda z pewnoscią jeszcze inny sposób rozwiązania

Godzio: Dzięki Może cokolwiek rozumiem, P'(γ) = 0 −> to jest wyznaczanie ekstremum lokalnych tak ?

kanikuła: największe pole ....... oczywiście

kanikuła: tak

Godzio: a tak z ciekawości to moje rozwiązanie jest średnio poprawne ?

kanikuła: Jest też poprawne.

Godzio: O to się zdziwiłem, bo nie liczyłem żadnych ekstremów a wyszło

Bogdan: Witam. Najpierw wyjaśnienie. Suma odległości od boków trójkąta punktu leżącego wewnątrz tego trójkąta jest równa długości wysokości tego trójkąta − to twierdzenie dotyczy tylko trójkąta równobocznego. Nie można tutaj zastosować tego twierdzenia. Rozwiązanie.

	a2
(h − R)2 +		= R2 ⇒ a = 2√ 2hR − h2 , a > 0, h > 0, R > 0
	4

	1		1
Pole P =		ah =		h*2√ 2hR − h2 ⇒ P(h) = √ 2Rh3 − h4
	2		2

Wyznaczamy maksimum funkcji P(h)

	6Rh2 − 4h3		3   −4h2(h − R)   2
P'(h) =		=		.
	2√Rh3 − h2		2√Rh3 − h2

	3
Funkcja P(h) posiada maksimum dla h =		R i a = 2√ 2hR − h2 = R√3
	2

	1		1		3		3
P =		ah =		*R√3*		R =		R2√3
	2		2		2		4

Szukanym trójkątem jest trójkąt równoboczny.

kanikuła:

Godzio: Muszę się jeszcze trochę podszkolić

Godzio: a tu nie powinno być:

	6Rh2 − 4h3
P'(h) =		?
	2√Rh3 − h4

Bogdan: Tak, chochlik zamieszał, ma być h⁴ po pierwiastkiem. Widzę, że dokładnie analizujesz zapisy , dziękuję za dostrzeżenie błędnego zapisu.

Godzio:

b.: a jak już to mamy, to łatwo rozwiązać ogólniejsze zadanie: Wśród wszystkich trójkątów (niekoniecznie równoramiennych) wpisanych w koło o promieniu R znaleźć ten, który ma największe pole.

Bogdan: Dzień dobry. Widzę, że bywalcy forum nudzą się, podbijam więc ostatnie pytanie b..

malibu: α+β+γ= 180^o

	abc
P=
	4R

ze wzoru sinusów: a= 2R*sinα , b= 2R*sinβ , c= 2R*sinγ P= 2R²*sinα*sinβ*sinγ , sinα*sinβ*sinγ −−− osiąga maximum dla α=β=γ = 60^o

	3√3
max wyrażenia sin360o=
	8

zatem taki trójkąt o największym polu jest trójkątem równobocznym

	3√3
P=		R2
	4

Bogdan: Uważam Eto, że nie wystarczy stwierdzić: "sinα*sinβ*sinγ −−− osiąga maximum dla α=β=γ = 60^o", fakt ten trzeba również wykazać.

malibu: tak? ...... ale to oczywiste,że tak jest Muszę kończyć ( idę na grila) pozdrawiam

Godzio: Udowodnij tożsamość

	α+β		β+γ		γ+α
cosα + cosβ + cosγ = 4cos		cos		cos
	2		2		2

gdzie α,β,γ są kątami ostrymi których suma wynosi 90^o

	α+β
x =		=> 2x = α + β
	2

	β+γ
y =		=> 2y = β + γ
	2

	γ+α
z =		=> 2z = γ + α
	2

2x = α + β 2y = β + γ − −−−−−−−−−−−−−− 2x − 2y = α − γ α = 2x − 2y + γ 2z = γ + α => 2z = γ + 2x − 2y + γ => γ = − x + y + z α = 2x − 2y + z − x + y => α = x − y + z β = 2y − (− x + y + z) => β = x + y − z cos(x − y + z) + cos(x + y − z) + cos(− x + y + z) = 4 * cosx * cosy * cosz L = cos(x−y)cosz − sin(x−y)sinz + cos(x+y)cosz + sin(x+y)sinz + cos(y−x)cosz + sin(y−x)sinz = cosz*(cosx*cosy + sinx*siny + cosx*cosy − sinx*siny + cosx*cosy + sinx*siny) − − sinz*(sinx*cosy − siny*cosx + sinx*cosy + siny*cosx + siny*cosx − sinx*cosy) = cosz*(3cosx*cosy + sinx*siny) − sinz*(sinx*cosy + siny*cosx) = 3cosx*cosy*cosz + sinx*siny*cosz − sinz * sin(x+y) = x + y + z = 90^o x + y = 90^o − z sin(90^o − z) = −cosz ... = 3cosxcosycosz + sinx*siny*cosz + sinz*cosz = 3cosxcosycosz + cosz(sinxsiny + sinz) = 3cosxcosycosz + cosz(sinxsiny + cos(x + y) ) = 3cosxcosycosz + cosz(sinxsiny + cosxcosy − sinxsiny) = 4cosxcosycosz = P Bogdanie albo b. możecie mi pokazać prostszy sposób rozwiązania tego ? W podpowiedzi jest żeby użyć wzoru na sumę cosinusów, próbowałem coś z nią ale nic mi nie chciało wyjść

Godzio: podbijam

Eta: Prośba była nie do mnie a ja znam rozwiązanie

Lucyna: znalazłam ale jestem z siebie dumna!

	α+β		β+γ		γ+α
4cos		cos		cos		= {podstawiamy za γ = 90−α−β}
	2		2		2

	α+β		β+90−α−β		90−α−β+α
4cos		cos		cos
	2		2		2

	1
= {korzystamy ze wzoru cosαcosβ =		[cos(α+β) + cos(α−β)]} =
	2

	α+β		1		α+β		1		β−α		α+β		α+β
4cos		(		cos(90−		+		cos		) = 2cos		cos(90−		) +
	2		2		2		2		2		2		2

	α+β		β−α
2cos		cos
	2		2

	1
= {ponownie ten sam wzór cosαcosβ =		[cos(α+β) + cos(α−β)]} =
	2

	1		1
2*		(cos90 + cos(α+β−90)) +2*		(cosβ + cosα) = cos(−γ) + cosα + cosβ = cosα + cosβ +
	2		2

cosγ cdn

Lucyna: dobra to idę spać trzeba się wyspać, żeby przez pomyłkę nie oddać głosu na nie tego kandydata

Eta: podaję tak: piszę kąty a, b, c dla wygody a+b+c= 90^o cos90^o=0 cosa+cosb +cosc= (cosa+cosb) + ( cosc+ cos(a+b+c)]=

	−a−b		a+b
cos		= cos		−−− z parzystości cosinusa
	2		2

	a+b		a−b		2c+a+b		a+b
2cos		*cos		+ 2cos		*cos		=
	2		2		2		2

	a+b		a−b		2c+a+b
2cos		( cos		+ cos		)=
	2		2		2

	a+b		a+c		b+c
2cos		*2cos		*cos
	2		2		2

	a+b		a+c		b+c
= 4 cos		*cos		*cos
	2		2		2

c.n.u.

Eta: Masz zatem Godzio dwa dowody ..... od lewej i od prawej strony Dobranoc Lucyno i Godzio

Bogdan: Dzień dobry. Bardzo podoba mi się Twój Eto dowód, wprowadzenie liczby 0 = cos90^o = cos(α + β + γ) zachwyciło mnie Sposobów wykazania prawdziwości podanej przez Godzia równości trygonometrycznej jest więcej. Pokażę jeszcze jeden dowód, jest on mniej elegancki od dowodu Ety. _______________________________________________________________________ α + β + γ = 90^o, α = 90⁰ − β − γ, β = 90⁰ − α − γ, γ = 90⁰ − α − β. _______________________________________________________________________

	α + β		α + β		α + β
cosγ = cos(90o − (α + β)) = sin(α + β) = sin2*		= 2sin		cos		=
	2		2		2

	α + β		α + β		180o − α − β		α + β
= 2cos(90o −		)cos		= 2cos		cos		=
	2		2		2		2

	90o + γ		α + β
= 2cos		cos		.
	2		2

_______________________________________________________________________

	α + β		α − β		90o + γ		α + β
cosα + cosβ + cosγ = 2cos		cos		+ 2cos		cos		=
	2		2		2		2

	α + β		α − β		90o + γ
= 2cos		(cos		+ cos		) =
	2		2		2

	α + β		α − β + 90o + γ     2		α − β − 90o − γ     2
= 2cos		*2cos		cos		= a
	2		2		2

_______________________________________________________________________

	α − β + 90o + γ   2		α − 90o + α + γ + 90o + γ   2		α + γ
cos		= cos		= cos
	2		2		2

oraz

	α − β − 90o − γ   2		90o − β − γ − β − 90o − γ   2
cos		= cos		=
	2		2

	−(β + γ)		β + γ
= cos		= cos		.
	2		2

_______________________________________________________________________

	α + β		α + γ		β + γ
Ostatecznie a = 4cos		cos		cos		.
	2		2		2

Bogdan: Wracam do zadania b.: Wśród wszystkich trójkątów (niekoniecznie równoramiennych) wpisanych w koło o promieniu R znaleźć ten, który ma największe pole. Proponuję takie rozwiązanie: Wybieramy dowolny bok trójkąta wpisanego w koło o promieniu R i zadajemy sobie pytanie: która z wysokości trójkąta poprowadzona do tego boku jest najdłuższa? (bo najdłuższa wysokość zapewnia największe pole trójkąta). Stwierdzamy, że najdłuższa wysokość leży na symetralnej wybranego boku, a trójkąt jest trójkątem równoramiennym, a który z trójkątów równoramiennych ma największe pole − zostało pokazane wyżej. Proponuję inne jeszcze podejście do tego zagadnienia. Przeprowadźmy następujące rozumowanie: W trójkącie wpisanym w koło o promieniu R najdłuższa wysokość leży na symetralnej wybranego boku, a trójkąt jest trójkątem równoramiennym. Stwierdzenie to jest prawdziwe dla wszystkich wysokości tego trójkąta, a więc trójkąt jest trójkątem równobocznym. Czy to rozumowanie jest poprawne?, proszę o wypowiedzi.

R.W.16l: Nic innego nie nasuwa mi się na myśl, jak OMG, jak wiele przede mną

Godzio: Dziękuje Wam

Eta: Dziękuję Bogdanie za śliczną różę

b.: Drugie rozwiązanie Bogdana bardzo mi się podoba (zadając pytanie, miałem na myśli rozwiązanie takie jak pierwsze) a jeśli chodzi o zadanie Godzia, to można też je rozwiązać (wiem, że to trochę poza programem szkolnym, ale Godzio chyba się interesuje takimi rzeczami) używając liczb zespolonych. Rachunek może nie będzie krótszy niż te sprytne podane wyżej, ale nie wymaga żadnej pomysłowości

	eix + e−ix
w zasadzie wystarczy w tym celu znać wzór cos x =		i przekształcać
	2

otrzymane wyrażenia jak dla liczb rzeczywistych:

	α+β		γ+α
4 cos		cosU{β+γ}2 cos		= ... (skoncze pozniej, musze isc )
	2		2

b.:

	1
... =		(ei(α+β)/2 + e−i(α+β)/2) (ei(β+γ)/2 + e−i(β+γ)/2) (ei(γ+α)/2 +
	2

e^{−i(γ+α)/2}) = (wymnażamy, korzystamy z tego, że α+β+γ = π/2)

	1
=		(eiα + e−iα + (podobne wyrażenia z β i γ) + eiπ/2 + e−iπ/2 )
	2

= cos α + cos β + cos γ + 0 = to co trzeba jednak trzeba było jeszcze wiedzieć, że e^iπ/2 + e^−iπ/2 = 0 o liczbach zespolonych można przeczytać np. w wikipedii (nieco chaotyczny wydaje mi się ten artykuł w wiki, ale powinien być chyba w miarę zrozumiały): http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_zespolone nawiasem mówiąc, liczby zespolone są bardzo wygodne w dowodzeniu też i innych tożsamości trygonometrycznych

b.: a nie, przecież e^iπ/2 + e^−iπ/2 = 2 cos(π/2) = 0, więc nic więcej nie potrzeba swoją drogą ciekawe, że w rozwiązaniu Ety też się pojawił cos 0 −− być może to te same rozwiązania, tylko w nieco innym języku

Godzio: hmmm ciekawe rozwiązanie na pewno sobie je przeanalizuje ale dopiero jak zacznę przerabiać liczby zespolone