Ze studiów Student: Rozwiąż różniczki: a) 2xy²y' = 3x²y b) (4x³ + 3y) dx + (3x − 3y² + 1)dy = 0 c) y" + 5y' −6y = x² + 4x + 2 d) y" + 2y' + y = 4e^x e) y" + 2y' + 8y = sinx Rozwiąż całki nieoznaczone:

	1
a) ∫		dx
	x2 + 4x +3

	3x+2
b) ∫		dx
	x2 +4x +4

	x−4
c) ∫		dx
	x2 + 2x + 6

	x2 −3
d) ∫		dx
	√x2 +4x +2

	x2 +2
e) ∫		dx
	√−x2 +4x + 6

	1
f) ∫		dx
	4+cos2x

	1
g) ∫		dx
	sin2x +5

h) ∫ x²e^4x dx i) ∫ x⁵ln5x dx Potrzebuje rozwiązań jak najszybciej i z góry dziękuję wszystkim za pomoc

xyz: to rozwiązuj im szybciej się weźmiesz tym szybciej bd miał rozwiązania

Student: gdybym potrafił − nie prosiłbym o pomoc... z matematyki jestem kiepski

Jack: 2xy²y' = 3x²y /: xy x,y≠0 2y'y=3x

	dy
2		y=3x
	dx

2y dy = 3x dx ∫2y dy = ∫3x dx y²=³₂x² + c y=±√3/2 * x² +c dla x,y ≠0 oraz y=0 y'=0 spełnia nierówność więc dochodzi odpowiedź y=0 (prosta OX). c), d), e) robi się najpierw jako równanie jednorodne, a potem dorzuca prawą stronę. Mozna to robic metodą uzmienniania stałej.

Student: Aha spróbuje coś z nimi zrobic A całki Porafi ktos

Basia: jeżeli nikt Ci wcześniej nie pomoże, to jakieś podpowiedzi mogę wyprodukować, ale dopiero wieczorem

Student: I czy ktos może jeszcze podziałać z różniczek i całek − bardzo prosze...

Jack: pokaże Ci d) y" + 2y' + y = 4e^x 1. równanie niejednorodne. y''+2y'+y=0 w(λ)=λ²+2λ+1=(λ+1)² λ₁=−1 k₁=2 Układ fundamentalny równania jednorodnego ma postać: e^−x, te^−x 2. Metoda zgadywania (równanie niejednorodne) b(x)=e^cx(P(x)*cos dt + Q(x)*sin dt) b(x)=4e^x c=1 d=0 c+d =1 nie jest pierwiastkiem równania charakter, czyli r =0 y₁(x)=t^r*(U(x)*cos dt + V(x)*sin dt), gdzie U i V to wielomiany stopnia niewiększego niż max{P(x), Q(x)}, czyli zerowego (a więc jakaś stała). Stąd y₁(x)=A e^x y₁'(x)=Ae^x y₁''(x)=Ae^x Powstawiająć do równania mamy: Ae^x+ 2Ae^x +Ae^x = 4e^x 4Ae^x=4e^x A=1 Zatem y₁(x)=e^x Odpowiedź końca to suma rozwiązania jednorodnego (przemnożonego przez stałą) i rozwiązania szczególnego. y(x)=c₁*e^−x+c₂*te^−x+e^x

Jack: h) i i) z zadania 2 pewnie trzeba pare razy przez części próbowałes?

Jack: tych całek a) − e) nie chce mi się rozpisywać... bo dużo tłumaczenia (a nie chce ich rozwiązywać). Może Basia Ci pomoże, o ile sam wczesniej tego nie zrobisz! Szukałeś w necie? Poszukaj... W zadaniach typu f) g) zwykle stosuje sie podstawienie tgx=t. Wówczas x=arctg t,

	dt
dx=		.
	1+t2

	tg2x		1
oraz sin2x=		ewentualnie cos2x=		.
	1+tg2x		1+tg2x

	t2		1
Czyli sin2x=		oraz cos2x=		.
	1+t2		1+t2

Student: Próbowałem ale nie wychodzi mi... Nawet rozwiązania mojego pisać mi sie nie chce bo sensu nie ma... Dzięki i za to rozwiązanie

Student: Dobrze a) sprawdzamy rozkładalność mianownika Δ = 16 − 12 = 4 √Δ = 2 x₁ = −3 x₂ = −1

	1
∫		dx
	(x+3)(x+1)

1		A		B
	=		+		| * (x+3)(x+1)
(x+3)(x+1)		x+3		x+1

Nie ma potrójnego znaku równości... 1= A (x+1) + B(x+3) 1= (A+B)x + A + 3B równosc tożsamościowa dwóch wielomianow. Róznosc jest spelniona wtedy i tylko wtedy, gdy wspolczynnik przy odpowiedniej potegach zmiennej x są równe wiec:

⎧	A+B =0
⎩	A+3B = 1

A+B = 0 2B = 1 B= ¹₂ A= −¹₂

1		−12		12
	=		+		| (x+3)(x+1)
(x+3)(x+1)		x+3		x+1

	1		1		1
∫		dx = −12 ∫		dx + 12 ∫		dx =
	(x+3)(x+1)		x+3		x+1

−¹₂ ln (x+3) + ¹₂ ln (x+1) + C

Jack: tak, tylko na końcu arg. logarytmów w module.

Jack: a różniczki zrobiłeś?

Student: nie arc tg w module czyli

Student: chodzi ci o −¹₂ ln arctg (x+3) itp

Jack: hehe "arg." to argument czyli ln |x+1| itp.

Jack: spróbuj ruszyć różniczki... są ciekawsze niż te paskudne całki...

Student: Różniczek nie potrefie...

Jack: no co Ty.... co studiujesz i na którym roku?

Student:

	3x+2
∫		dx
	x2 + 4x + 4

Δ = 16−16 = 0 x₀ = −2

3x+2		A		B		Cx + D
	=		+		+		| (x+2)2
(x+2)2		(x+2)		(x+2)2		1

3x+2 = A(x+2) + B + (Cx + D) (x² + 4x + 4) Ax + 2A + B + Cx³ + 4Cx² + 4Cx + Dx² + 4Dx + 4D x(A + 4C + 4D) i tu juz nie wiem

Student: Informatyka rok 1

Student: Matme mamy tylko przez rok... różniczki są ciężkie a całki robie analogicznie... macierze czy zespolone to były banały ale to mnie juz przerasta dlatego prosze o pomoc

Jack: tę całkę, w której delta mianownika jest równa 0 zrób tak:

3x+2		A		B
	=		+
(x+2)2		(x+2)2		x+2

Student: Ok

Student: A te rózniczki moglbys rozwiązac Całki powoli będę robił sam

Jack: hm... chciałem Tobie to zostawić Spróbuj chociaż, będę Cię kierował. Próbuj metodą zgadywania, zacznij jak ja wyżej.

Student: 3x + 2 = A + B (x+2) 3x + 2 = A + Bx + 2 ⇔ B = 3 A + 2B = 2 A + 6 = 2 A = −4

	3x+2		−4		3
∫		dx = ∫		dx + ∫		dx =
	(x+2)2		(x+2)2		x+2

	1		1
−4 ∫		dx + 3 ∫		dx =
	(x+2)2		x+2

(x+2)² = t

	1
=−4 ∫		dt + 3 ln |x+2| + C
	t2

skoro:

	A		1		t−k+1		A
∫		dx = A ∫		= A		=
	(x−x1)2		tk		−k+1		(1−k)* tk−1

to analogicznie:

	t−2+1
=−4 ∫ t−2 dt + 3 ln |x+2| + C = −4		+ 3 ln |x+2| + C
	−2+1

	−4
=		+ 3 ln |x+2| + C =
	−1 * t1

	−4
=		+ 3 ln |x+2| + C
	−(x+2)2

Jack:

	dx		4
−4∫		=−4∫(x+2)−2 dx=(−4)* (−1)(x+2)−1 + c=		+c
	(x+2)2		x+1

Student: minusa nie zgubiłes

Student: i ostatecznie wyjdzie na końcu 2C bo zsumują się z pierwszej i drugiej całki no nie

Jack: 2c = c₁ grunt że stała. Zwykle piszę się po prostu nowe "c" z jakimś udziwnieniem, np indeksem albo falką u góry. zdaje się ze minusa nie zjadłem. W którym miejscu ewentualnie?

Student: już na samym początku jak napisałeś −4 i całkę to w mianowniku przy (x+2)² a potm ci sie juz pojawia i zgłupiałem...

Jack:

	1
mówisz o tym		=a−1 ? tak oczywiście zawsze można zapisać. Zrobiłem tak bo dzięki temu
	a

	xn+1
mogę skorzystać ze wzoru ∫xn dx=		+c
	n+1

Student: Nie chodzi mi o to: Napisałeś

	dx		dx
−4∫		a powinno być −4∫
	(x+2)2		−(x+2)2

Jack: czemu? Wszyło Ci tak:

	3x+2		−4		3
∫		dx= ∫		dx+∫		dx
	(x+2)2		(x+2)2		x+2

Tą całką się zajmuję.

Student: coś mi sie pochrzaniło... dzięki za sprostowanie

Jack: oki Po uwzględnieniu tej poprawki Twoja odpowiedź jest ok.

Student: wynik ostateczny ma postac:

4
	+ c1 + 3ln|x+2| + c2
x+1

dobrze godom

Jack: Ano, tylko te stałe mnie wkurzają Napisz raz stałą c₃ jako c₃=c₁+c₂

Student: spoko

Student: skoro mam w 3 całce delte mniejszą od zera to bedzie naciąganie na pochodną i arctg tylko nie wiem jak ją zrobic... rozwiążesz ją

Jack: hehe... dobrze kombinujesz z tą pochodną, tylko że nie rozwiążę Ci tego − bo to już szczyt lenistwa z Twojej strony

Student: nie mow zem len − bo stypendium naukowe bede mial a matma to nie mocna strona mej mocy

Jack: wierzę w Ciebie Od matmy się nie opędzisz na informatyce... zresztą umiesz to zrobić, a Ci się nie chce − pokaż swoją moc Ja uciekam, miłych snów i powodzenia...

Student: Dzieki narqa