Basiu, Eto, Godzio - proszę o opinię na temat zadania: Gustlik: Basiu, Eto, Godzio − proszę o opinię na temat zadania: Niedawno robiłem z jedną uczennica z kl. I LO takie zadanie: Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe: −5 i 11 oraz przyjmuje największą wartość równą 10. Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli. Zadanie oczywiście rozwiązałem prostą metodą, ale jak zobaczyłem, jaką metodę zastosowala pani nauczycielka, to się załamałem. Ja zrobilem tak: obliczyłem p ze wzoru:

	x1+x2		−5+11		6
p=		=		=		=3 → p leży zawsze dokładnie w środku między miejscami
	2		2		2

zerowymi, wynika to z symetrii paraboli q=10 − największa wartość funkcji musi być na wierzchołku, jeżeli a<0 Odp.: W=(3, 10) → KONIEC ZADANIA Natomiast w szkole nauczycielka wymyśliła taki układ równań: { a*(−5)²+b*(−5)+c=0 { a*11²+b*11+c=0

	−b2+4ac
{		=10
	4a

Metoda wprawdzie poprawna, ale kosmiczna, czaso− i pracochłonna. Oczywiście wiem, skąd wzięły się te równania − dwa piewrsze z podstawienia współrzędnych miejsc zerowych do postaci ogólnej funkcji kwadratowej y=ax²+bx+c, ostatnie wzięło się ze wzoru

	−Δ
q=		.
	4a

I tak właśnie wyglądają szkolne metody nauczania. Chciałem Was prosić o wypowiedź w tej sprawie. Basiu, Eto, Godzio − co Wy na to?

Godzio: Oczywiście, że zdarzają się takie przypadki że nauczyciel robi taką metodą ale nie uważam żeby to była większość.

Gustlik: Może akurat taki układ z trzema niewiadomymi należy do rzadkości, ale w wielu przypadkach udało mi się wyeliminować układy dwóch rownań z dwiema niewiadomymi na rzecz jednego albo dwóch równan zawierających JEDNĄ niewiadomą, a to już się łatwiej rozwiązuje. Tak zrobilem m.in. w zadaniach z ciągów arytmetycznych i geometrycznych. Niemal w każdym dziale matematyki znalazlem prostsze metody rozwiązywania zadań, niż szkolne. Równanie okręgu i równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty to jedne z nich. Ale prawda jest taka: mało nauczycieli podaje, że dla funkcji kwadratowej q można obliczyć w drugi sposób jako f(p), czyli wartość dla x=p, a ta własność często bardzo usprawnia rozwiązywanie zadań,

	x1+x2
np. wzory p=		i q=f(p) pozwalają na szybkie przekształcenie postaci iloczynowej
	2

funkcji kwadratowej na kanoniczną z pominięciem postaci ogólnej. Prościej niż w szkole można oblioczać zadania z ciągów liczbowych, z geometrii, z trygonometrii itp.

Godzio: Co do tego to nauczyciel nawet czasami nie powinien wszystkiego mówić, o tym że

	x1 + x2
p =		mówił (przynajmniej w naszej kl. ) ale np o q = f(p) nie musi mówić bo każdy
	2

myślący człowiek raczej powinien się domyślić q = f(p) − oczywista oczywistość

AS: Najprawdopodobniej nie poszukiwała żadnych prostych metod, tylko przyjęła,że punkty A(x1,0),B(x2,0),C(xw,yw) należą do paraboli y = a*x² + b*x + c. Rozwiązując układ równań znalazła potrzebne a,b i c. Może staż jej był jeszcze krótki i zabrakło pewnej inwencji,może po prostu nie zauważyła innej metody.

Amaz:

	x1+x2
Jeżeli chcesz korzystać z tego, że p=		, to należy to najpierw udowodnić, jeśli nie
	2

było tego na lekcji. Wtedy będzie wszystko dobrze

Bogdan:

	x1 + x2
Nie ma co udowadniać, zależność xw =		wynika z faktu mówiącego o tym, że
	2

wierzchołek paraboli leży na osi symetrii paraboli: y = x_w, a miejsca zerowe są punktami wzajemnie symetrycznymi względem tej osi.

Amaz: W mojej szkole nie zostało to powiedziane i gdybym musiał wykorzystać ten fakt, musiałbym go najpierw udowodnić. Wszystko zależy od nauczyciela

Bogdan: Prosta y = x_w, gdzie x_w jest odciętą wierzchołka paraboli, jest osią symetrii paraboli i to jest jedna z własności wykresu funkcji kwadratowej. Tę własność powinien każdy uczeń, nawet bez wskazywania na nią przez nauczyciela, sam zauważyć. Inną własnością paraboli jest to, że miejsca zerowe, o ile istnieją, są symetryczne względem osi symetrii paraboli.

	−b		−b
Wiemy, że xw =		, a z wzorów Viete'a mamy: x1 + x2 =		/ :2 ⇒
	2a		a

	x1 + x2		−b		x1 + x2
⇒		=		, a stąd		= xw.
	2		2a		2

Basia: Gustlik ciągle się z Tobą kłócę, ale tym razem masz 150% racji.

Amaz: No dobra "udowodnić" to było za duże słowo

Gustlik: Basiu dzięki za poparcie − ja jestem zwolennikiem prostych i przejrzystych metod i staram się je pokazywać wszędzie tam, gdzie tylko potrafię. A o sposobie nauczania matematyki w szkołach mam bardzo negatywne zdanie − stosując szkolną skalę ocen − obecny system nauczania oceniam na 2. Nie podoba mi się, że nauczyciele stosują zazwyczaj tylko JEDNĄ metodę do rozwiązywania zadań z każdego działu, zazwyczaj nie jest to metoda prosta. I to nie tylko z rownaniem okręgu czy prostej tak wygląda. To samo dzieje się np. z ciągami. Nie rozumiem dlaczego ani autorzy podręczników ani nauczyciele w szkołach nie pokażą wzoru na wyraz ciągu arytmetycznego a_n−a_k=(n−k)*r, czy na ciąg geometryczny a_n/a_k=q^n−k tylko zadania, gdzie podane są wyrazy np. a₅ i a₉ wałkują układami równań ze wzoru na wyraz ogólny ciągu. A można to zrobić tak: a₉−a₅=4r lub a₉/a₅=q⁴ i szybko wyznaczyć różnicę czy iloraz ciągu. Potem wyraz a₁=a₅−4r lub a₁=a₅/q⁴ i można zadanie rozwiązać prostymi równaniami z JEDNĄ niewiadomą. Tak samo wygląda sprawa ze schematem Hornera przy rozwiązywaniu zadań z wielomianami. Równania czy nierówności wielomianowe, których nie można w klasyczny sposób rozłożyć na czynniki, rozwiązuje się szukając pierwiastka poprzez wstawianie kolejnych podzielników i liczenie w klasyczny sposób W(1), W(−1), W(2), W(−2) itd. aż trafi się na pierwiastek, a potem dzielenie przez (x−p) słupkiem. Zamiast tego można kolejne podzielniki wstawiać do schematu Hornera i liczyć prostą tabelką, aż reszta wyjdzie 0 − za jednym zamachem mamy dwa w jednym − znaleziony pierwiastek i obliczone współczynniki wielomianu wynikowego. Spotkałem się jeszcze z zakręconą i mało zrozumiałą dla uczniów metodą rysowania wykresów wielomianów przy nierównościach. Polega ona na tym, że wielomian rozkładamy na czynniki liniowe i kwadratowe i zamiast rysowania jednolitego wykresu rysuje się parabole i proste i bada znaki w przedziałach. Rysunek złożony z plusów i minusów przypomina szlaczki rysowane przez uczniów I klasy podstawówki, a nie fachowo rozwiązane zadanie. Dodam, że nauczycielka nie pokazała prostszej metody, mimo iż mała ja omówioną w książce − była to ta sama metoda, którą stosuje Jakub, omówiona tutaj: https://matematykaszkolna.pl/strona/142.html . Dodam, że ja też stosuję metodę Jakuba, bo jest prosta, przejrzysta i zrozumiała dla uczniów. Inny przykład utrudniania życia uczniom: zadania z geometrii typu ze stosunkiem podziału odcinków czy boków figur, np: odcinek o długości 20 cm podzielono w stosunku 2:3. Oblicz długości jego części. W szkołach rozwiązuje się to najczęściej układem równań: {x+y=20 {x/y=2/3 A można prościej − na jednej niewiadomej: oznaczyć części odcinka 2x i 3x: 2x+3x=20 5x=20 /:5 x=4 I mamy długości części odcinka: 2x=8 3x=12 Przykładów utrudniania życia uczniom można mnożyć. Najgorzej, że nie pokazuje się alternatywnych, prostszych metod, a zdarza się, że nauczyciele tępią inne metody, mimo że są one poprawne. Uff, rozpisałem się, ale o stosowaniu pokręconych metod nauczania, a raczej oduczania matematyki w szkołach, mozna byłoby książkę napisać. Apeluję do nauczycieli: pokazujcie kilka metod tam, gdzie to możliwe, bo jedni wola metody trudniejsze, a inni wolą proste.

Gustlik: A propos ciągów przypomniała mi się jeszcze jedna sprawa: nauczycioele jak ognia unikają porównywania ciągów do funkcji, mimo że słowo "funkcja" występuje w definicji ciągu, bo jest to właśnie funkcja określona na liczbach naturalnych dodatnich, a "n" to "x", "a_n" to "y". Tymczasem to porównanie i skorzystanie z własności odpowiednich funkcji ułatwia zrozumienie zagadnienia i rozwiązanie zadania. Nie podaje się również związku ciągu arytmetycznego z funkcja liniową oraz ciągu geometrycznego z funkcją wykładniczą, mimo iż związek jest oczywisty i mozna byłoby skorzystać z własności tych funkcji przy rozwiązywaniu zadań z ciągami, np. szybko wyznaczyć monotoniczność ciągu rozpoznając ją "po współczynnikach" itp.

Godzio: Ale też wszędzie tak nie jest. Mój nauczyciel mówił o związku funkcji liniowej i ciągu o tych wzorach a_n = a_k + (n − k)*r. Także nie jest aż tak fatalnie jak mówisz

Godzio: A o tym: odcinek o długości 20 cm podzielono w stosunku 2:3 {x+y=20 {x/y=2/3 − pierwszy raz słyszę żeby to rozwiązywać w ten sposób

Eta: długości tych części : 2x i 3x dla x >0 2x+3x= 20 x= 4 2x= 8 , 3x= 12 i tylko tak

Godzio: No właśnie, w życiu się nie spotkałem z rozwiązaniem tego za pomocą układu

Eta: na "upartego" można: x= ²₃y ²₃y+y =20 => ⁵₃y= 20 => y= 12 x= ²₃*12= 8 tylko, po co?

Gustlik: A ja się właśnie spotkałem z takim obliczaniem stosunku podziału. Z ciągiem arytmetycznym jest jeszcze jedna ciekawa sprawa, o której rzadko się mowi w szkołach: jeżeli mamy w zadaniu podaną sumę dwóch wyrazów parzystych albo dwóch nieparzystych, to możemy za pomoca średniej arytmetycznej łatwo wyznaczyć wyraz srodkowy, np.

	a1+15		a2+a8
		=a3,		=a5 itd. Z tej samej własności możemy szybko wyznaczyć
	2		2

środkowy wyraz, gdy mamy podaną sumę nieparzystej liczby wyrazów, np.

	a1+a5		a1+a7
S5=		*5=a3*5, S7=		*7, czyli Sn=aśr*n, gdy n jest
	2		2

nieparzyste i a_śr − środkowy wyraz pomiędzy a₁ i a_n. Szybkie wyznaczenie wyrazu środkowego eliminuje układy równań, bo dalej można liczyć wg wzoru a_n−a_k=(n−k)*r i wtedy pozostałe wyrazy ciągu też wyznaczamy równaniem z jedną niewiadomą.