CALKI olx: CALKI Czy ktos moglby mi wytlumaczyc w jaki sposob po wyliczeniu A i B wstawia sie te liczby do calki?

	dx		dx
∫		= − ∫
	−x2+6x−5		(x−5)(x−1)

1		A		B		A(x−1)+B(x−5)		(A+B)−A−5B
	=		+		=		=
(x−5)(x−1)		x−5		x−1		(x−5)(x−1)		(x−5)(x−1)

	1		1
wychodzi: A=		, B=−
	4		4

po wstawieniu do calki wyglada to tak i jak w ogole nie mam pojecia w jaki sposob , co do czego, pod co... sie wstawia te A i B:

	1		dx		1		dx		1		1
−		∫		+		∫		=−		ln|x−5|+		ln|x−1|+C
	4		x−5		4		x−1		4		4

Jack: jesli wiesz skąd się bierze A i B, to cała reszta wygląda tak:

	dx		14		−14
∫		=∫		dx +∫		dx=
	−x2+6x−5		x−5		x−1

	1		dx		1		dx
=		∫		−		∫
	4		x−5		4		x−1

Jack: teraz

	dx		dx
∫		=ln|x−5|+c1, oraz ∫		=ln|x−1|+c2
	x−5		x−1

czyli

1		1
	*ln|x−5|−		*ln|x−1| +c
4		4

olx: czyli zawsze taka calke rozbija sie na dwie i dodaje je? A skad wiem ze tam gdzie w mianowniku jest np (x−5) do licznika daje A a tam gdzie (x−1) daje B? Pewnie glupie pytanie ale juz mi sie wszystko miesza...

olx: Niestety jednak nie rozumiem skad sie bierze taki układ równan : A+B=0 (czemu sie rowna 0) −A−5B=1 (czemu rowna sie 1)

b.: porownujesz liczniki, bo mianowniki sa takie same (rowne (x−5)(x−1)): po lewej stronie licznik to 1, po prawej: (A+B)x−A−5B zeby dwa wielomiany byly rowne, musza miec takie same wspolczynniki: wspolczynnik przy x: 0 (po lewej stronie 0x+1), A+B po prawej, wiec A+B = 0 no i wyrazy wolne porownujemy: −A−5B=1

Gustlik: To jest rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste, czyli dzialanie odwrotne do sprowadzania dwóch ułamków prostych do wspólnego mianownika. Chodzi o to, aby znaleźć ułamki proste,

	1
których suma po sprowadzeniu do wspólnego mianownika da ułamek		i
	(x−5)(x−1)

przedstawienoa go jako sumy dwóch ułamków prostych. Ułamki proste łatwo się całkuje, stąd konieczny jest taki rozkład funkcji wymiernej. A układ równan bierze się stąd, że sprowadzasz ponownie ułamki do wspólnego mianownika, otrzymujesz:

1		(A+B)x−A−5B
	=
(x−5)(x−1)		(x−5)(x−1)

Masz dwa ułamki o tym samym mianowniku. Aby były one równe, to ich liczniki muszą też być równe − czyli porównujesz współczynniki przy tych samych potęgach x z obu liczników, na zasadzie porównywania wielomianów − wielomiany są równe, gdy ich współczynniki przy tych samych potęgach x są równe: 1 = 0x+1 czyli 0x+1=(A+B)x−A−5B Stąd układ równań: A+B=0 −A−5B=1 Rozwiązujesz ten układ, obliczasz A i B i wstawiasz do ułamków prostych. W ten sposób masz dwa

	1
u łamki proste, których suma =		. A następnie ułamki proste całkujesz.
	(x−5)(x−1)

Jack: Niekiedy ta metoda jest jednak bardziej wyrafinowana, szczególnie, gdy w grę wchodzą wielomian nieprzywiedlny. Innymi słowy, nie zawsze rozkłada się do takiej postaci jak w tym przypadku czyli A jako licznik w jednym ułamki, B jako w drugim. Dodaje ten komentarz jako drobną uwagę metodyczną