ciągi czekolada: wykaż ze ciag (an) jest ciagiem rosnącym jesli :

	4
an= 1−
	n+1

jakie są założenia dla ciagu rosnącego ?

Jack: policz a_n+1−a_n. Powinno wyjść coś większego od 0, niezależnie od dobieranego "n".

czekolada: wyszło, dzieki Jack

Jack: proszę

czekolada: a jak mam polecenie : zbadaj monotoniczność ciągów i mam przyklad a_n=n²−5n a₁=1−5=−4 a₂=4−10=−6 czyli −6+4= −2 ... czyli to jest <0 .. i jak dla mnie bylby to ciąg malejący ... ale w odpowiedziach jest ze nie jest to ciag monotoniczny. kiedy ciag jest monotoniczny w takim razie ?

Jack: Najlepiej policz a_n+1−a_n. Jesli dla dodatnich n−ów (tzn jakich dla których jest sens liczyć wyrazy ciągu) wyjdzie że ta różnica jest albo wieksza od 0 albo mniejsza od 0, wówczas ciąg będzie monotoniczny. W tym przykładzie pewnie jest tak że do któregoś tam wyrazu ciąg maleje, ale potem zaczyna rosnąć (a na pewno kiedyś zacznie rosnąć bo mamy wielomian ze współczynnikiem dodatnim przy najwyższej potędze).

Amaz:

	4		4		4
an+1−an=1−		−(1−		)=...=		>0, dla każdego n∊ℕ
	n+1+1		n+1		(n+1)(n+2)

Zatem ciąg jest rosnący.

czekolada: caly czas mi nie wychodzi ... a_n=n²−5n , a₄=−4 , a₅ = 0 , a₆=6 ... czyli te ciągi by mialy różną monotoniczność moze po tym wiadomo ze ciąg ogolnie nie jest monotoniczny ?

Jack: widzisz, że na początku wyrazy Ci malały, a potem kiedyś tam rosną. To wystarczy żeby stwierdzić że ciag nie jest monotoniczny. Ale dla pedantów można pokazać, że: a_n+1−a_n nie jest zawsze mniejszy od zera albo zawsze większy od 0.

Jack: a_n+1−a_n=(n+1)²−5(n+1)−n²+5n=n²+2n+1−5n−5−n²+5n=2n−4 Widać teraz że ten ciąg dla n=1 ma wyrazy malejące (względem a₁ i a₂), dla n=2 stałe ( względem a₂ i a₃), a dla n>2 (względem a₃, a₄,... itd.) rosnące.

czekolada: czyli za kazdym razem powinna sprawdzac jaki jest ciąg np. na dwóch parach liczb tzn. 1 i 2... oraz np. 5 i6 ... tak zeby bylo widac ze to jest caly czas > od 0 albo < od zera... lub wlasnie ze ciąg nie jest monotoniczny ? dziekuje Jack po raz setny mi pomogles : ) !

Jack: W pewnym sensie tak. Ale zauważ, że gdybyś chciała faktycznie tak sprawdzać, to na którejś parze byś się zatrzymała (ponieważ takich par w ciagu jest nieskończenie wiele) Pomocna okazuje się postać różnicy a_n+1−a_n, która pokazuje jaka jest różnica między dwoma kolejnymi wyrazami. U nas to było 2n−4. To oznacza że jak wstawię np. n=1 to 2*1−4=−2, czyli a₁₊₁−a₁=−2 czyli ciąg maleje (bo kojelny wyraz jest mniejszy od poprzedniego). Gdy wezmę n=2 to dostaję a₂₊₁−a₂=2*2−4=0, czyli oba wyrazy a₃ i a₂ są sobie równe, Gdy wezmę n=3 to dostanę a₃₊₁−a₃=2, czyli ciąg już rośnie bo kolejny wyraz jest większy o 2 od poprzedniego. Widać, że wystarczy policzyc tę różnicę a_n+1−a_n i zanalizować wynik

Amaz: Ładnie wytłumaczone

Jack: dzięki Amaz Mam nadzieję że okaże się również pomocne.

czekolada: dzieki Jack : ) ! , oczywiscie pomocne sie okaze ; )