Oblicz całki-3 przykłady Agniecha90: Witam,mamy problem z rozwiązaniem trzech przykładów. Prosimy o pomoc Za pomocą podstawiania: ∫ e^x/(e^x+4) dx Całki elementarne: ∫ 〖(1+x)〗²/(x*(1+x²)) dx ∫ x/〖(x²+1)〗² dx

Amaz: pierwszy przykład: podstawienie t=e^x+4 dt=e^xdx

	dt
∫		=...
	t

Jack: trzecie przez podstawienie t=x²+1

Agniecha90: oj,błąd w moim zapisie nie wiem, ale u mnie po całce,powinno być (w pierwszym e) − "e do 2x"

Agniecha90: ∫ e^2x/(e^x+4) dx

Agniecha90: Przepraszam,ale na szybko wpisywałam. Co do przykładu 2 i 3 − nie mam używać ani metody podstawiania ani przez części.

Jack: ok

Jack:

	(1+x)2
∫		dx tu skorzystaj ze wzoru skr. mnozenia w liczniku, a potem rozłóż na
	x(1+x2)

trzy całki. Powinno wyjść w miarę prosto: pierwszy trzeba będzie rozłożyc na ułamki proste, w driugim wyjdzie zdaje się 1/2 arc tg x, a w trzecim 1/2 log (1+x²).

Agniecha90: no tak, drugi i trzeci mi wyszedł,ale co z tym pierwszym? jak mogę rozłożyć na ułamki proste skoro w mianowniku jest iloczyn?

Agniecha90: Z resztą, w trzecim ułamku i tak musiałam użyć podstawiania,bo inaczej mi nie wyszło...

Jack:

	U'(x)
w trzecim korzysta się ze wzoru ∫		dx=ln( U(x) ) +c
	U(x)

Jack:

1		A		Bx+c
	=		+		− z tego rozłożysz na dwie proste całki
x(1+x2)		x		x2+1

Amaz: w sumie w 1 przykladzie tez mozna skorzystac z tego wzoru co pokazales o godzinie 21:28

Agniecha90: nie potrafię policzyć współczynników A,B,C ...

Jack: hm tylko że tak w liczniku powinno stać e^2x, jak napisała Agniecha90...

Jack: na pewno potrafisz Pierwszy ułamek wymnóż przez x²+1, a drugi przez x. Licznik ma się równać 1.

Amaz: aha, nie zauważyłem tej zmiany

Agniecha90: Tyle to wiem,ale A+Ax²+Bx²+Cx=1 => co z tym dalej?

Jack: wyraz wolny po lewej stronie to A, a po prawej to 1. Wiec A=1. Potem x²(A+B) a po drugiej stronie 0*x² itd.

Jack:

	e2x
może ∫		dx da się zapisując licznik jako (ex+4)2−8*ex−16. Teraz tą ostatnią
	ex+4

	−16		1
całkę ∫		dx trzeba umiejętnie rozwiązać. −16∫		dx i teraz jakos jako
	ex+4		ex+4

złożenie...

Amaz: ja bym zrobił podstawienie t=e^x+4 ⇒ e^x=t−4 dt=e^xdx

	(t−4)dt
∫		=...
	t

Jack: pamiętaj że w liczniku jest e^2x.

Jack: poza tym Agniecha90 chce bez podstawień też sobie zażyczyła..

Amaz: no tak e^2x=e^x*e^x i jedno z tych e^x to t−4 a drugie e^x to dt=e^xdx

Agniecha90: hm, przypomnę,że pierwszy przykład MOŻE być przez podstawianie... 2 i 3 −nie, i to nie moje życzenie a Sz.P. od matematyki

Jack: ajajaaaj ok, sorry − faktycznie, fajne podstawienie

Agniecha90: Dziękuję bardzo blond na głowie zobowiązuje czasem do niewiedzy i gupoty

Basia: ad.1

	(ex)2		ex*ex
J=∫U{e2x{ex+4} dx = ∫		dx = ∫		dx
	ex+4		ex+4

t=e^x+4 ⇒ e^x=t−4 dt = e^xdx

	t−4		1
J=∫		dt = ∫1dt − 4∫		dt = t−4ln|t|+C =
	t		t

e^x+4−4ln(e^x+4) + C

Basia: ad.3

	x
J=∫		dx
	(x2+1)2

wzór podany przez Jacka nie ma tu jak na razie zastosowania to musi być podstawienie t=x²+1 dt=2x dx x dx = ^dt₂

	1		dt
J=∫		*		= −12*∫(−1t2) dt = −12*1t+C =
	t2		2

− ¹_2t+C=

	1
−		+C
	x2+1

Basia: Jack w trzecim U(x)=(x²+1)² U'(x) = 2(x²+1)*2x i to nie jest licznik

szczepan: ∫dx/2∧x+1