wielomiany madzia: x³−7x= |4x²−10|

madzia: ja rozpisalam zał 4x²≥10 2x≥√10 x≥√5 i w drugim wypadku x<√5 ale rozwiazac rownania juz nie potrafie.

Jack: z def. modułu skorzystaj − tzn. rozpisz moduł

slawinc: Już robię madziu. Cierpliwości

slawinc: x³ − 7x = |4x² − 10| |4x² − 10| = −4x² + 10 dla 4x² −10 < 0 → 4x² < 10 → x² < ⁵₂ → x < √⁵₂ 4x² − 10 dla x≥ √⁵₂ x³ −7x = −4x² + 10 dla x∊(−∞,√⁵₂) x³ + 4x² −7x − 10 = 0 // x=2 jest pierwiastkiem tego wielomianu (wystarczy podstawić). Stad po podzieleniu tego wielomianu przez dwumian (x−2) otrzymujemy wielomian x² + 6x +5. Stąd: (x² + 6x +5)(x−2) = 0 x² + 6x + 5 = 0 Δ=16 √Δ=4

	−6 − 4
x1 =		= −5
	2

	−6 + 4
x2 =		= −1
	2

x₃ = 2 x₃ nie należy do dziedziny (−∞,√⁵₂) x³ − 7x = 4x² − 10 dla x∊<√⁵₂, +∞) x³ − 4x² − 7x + 10 = 0 //x=1 jest pierwiastkiem tego wielomianu. Po podzieleniu go przez (x−1) otzrymujemy wielomian x² − 3x − 10. Stąd: (x² − 3x − 10)(x − 1) = 0 x² − 3x − 10 = 0 Δ = 49 √Δ = 7

	3 − 7
x1 =		= −2
	2

	3 + 7
x2 =		= 5
	2

x₃ = 1 x₁ i x₃ nie należą do dziedziny <√⁵₂, +∞) Ostateczne rozwiązanie: x₁ = −5, x₂ = −1, x₃ = 5

Godzio: coś chyba nie tak z x₁

slawinc: no właśnie, tylko nie wiem dlaczego

Godzio: x³ − 7x = 4x² − 10 dla x ∊(−∞,√⁵₂) x³ − 4x² − 7x + 10 = 0 x³ −x² − 3x² + 3x − 10x + 10 = 0 x²(x−1) − 3x(x−1) − 10(x−1) = 0 (x−1)(x² − 3x − 10) = 0 delta pierwiastki itd.. (x−1)(x−5)(x+2) = 0 x = 1 v x = −2 v x = 5 ∉ (−∞,√⁵₂) dalej jest tak jak slawinc czyli odp: x₁ = 1 , x₂ = −2 x₃ = −1 x₄ = 5

slawinc: nadal coś nie gra. Postawiając x=1 nie wychodzi

Godzio: Teraz widzę błąd

	5
|4x2 − 10| = −4x2 + 10 ⇔ x2 <
	2

x < √⁵₂ i x > −√⁵₂ dla x ∊ (−√⁵₂ , √⁵₂) x³ − 7x = −4x² + 10 .... x₁ = 2 , x₂ = −1, x₃ = −5 − brak rozwiązań |4x² − 10| = 4x² − 10 ⇔ x ∊ (−∞, −√⁵₂> ∪ <√⁵₂,∞) .... x₁ = −2, x₂ = 5, x₃ = 1 => wszystkie rozwiązania należą do badanego przedziału Odp: x₁ = −2, x₂ = 5, x₃ = 1 I tera wszystko gra

Godzio: x₁ = 2 , x₂ = −1, x₃ = −5 − x₂ = −1 jedynie należy do przedziału a dla 2 przedziału x₃ = 1 nie należy więc x₁ = −2 x₂ = 5 x₃ = −1 I tera na 100% wszystko ok

slawinc: No właśnie, ale wtopa Kończe na dziś bo chyba mózg przegrzałem

Godzio: Dobra to teraz to wszystko do kupy trzeba pozbierać: x³ − 7x = |4x² − 10|

	5
|4x2 − 10| = −4x2 + 10 ⇔ x2 <
	2

x < √⁵₂ i x > −√⁵₂ x ∊ (−√⁵₂ , √⁵₂ ) |4x² − 10| = 4x² − 10 ⇔ x ∊ (∞,−√⁵₂> ∪ <√⁵₂ , ∞) Dla x ∊ (−√⁵₂ , √⁵₂ ) x³ − 7x = −4x² + 10 x³ + x² + 3x² + 3x − 10x − 10 = 0 x²(x+1) + 3x(x+1) − 10(x+1) = 0 (x+1)(x² + 3x − 10) = 0 (x+1)(x+5)(x−2) = 0 x = −1 ∊ D v x = −5 ∉ D v x = 2 ∉ D Dla x ∊ (∞,−√⁵₂> ∪ <√⁵₂ , ∞) x³ − 7x = 4x² − 10 x³ − x² − 3x² + 3x − 10x + 10 = 0 x²(x−1) − 3x(x−1) − 10(x−1) = 0 (x−1)(x² − 3x − 10) = 0 (x−1)(x − 5)(x + 2) = 0 x = 1 ∉ D v x = 5 ∊ D v x = − 2 ∊ D Odp: x = −1 v x = 5 v x = −2

madzia: dziekuje wamm ! Slawinc .. − odrobina odpoczynku nalezy sie kazdemu , sam fakt..ze chce wam sie tutaj pomagac − to podziwiam : )

slawinc: To nasz obywatelski obowiązek Ale gorzej jak sie kogoś w bląd wprowadzi, dlatego faktycznie trzeba odpocząć

Godzio:

madzia: a mam jeszcze głupie pytanie .. bo mi tak srednio idzie z rozpisywaniem wartosci b. Godzio to rozpisal nieco inaczej niz ja wczesniej sie uczylam.. w kazdym razie akurat tutaj wychodzi na jedno...ale skad wiadomo ze np. −przy x ∊ (−√5/2 , √5/2 ) x³ − 7x = −4x² + 10 ze tutaj jest ten minus ? i w nastepnym przedziale jest juz dodatnie..wtedy sie znaki nie zmieniają

madzia: nie wiem jak dokladnie to zapisac..ale moze zrozumieliscie o co mi chodzi : ) i co jest dla mnie w 50% jasne. Bo nieco sie gubię zawsze w tym... −.−

Godzio: chodzi o to że jeśli podstawisz jakąkolwiek liczbę w przedziale (−√⁵₂ , √⁵₂) to wyrażenie pod bezwzględnością będzie zawsze ujemne |4x² − 10| = − 4x² + 10 bo 4x² − 10 < 0 w tym przedziale, a skoro to wiemy to mamy pewność że po zmianie znaków wyrażenie będzie zawsze dodatnie

Godzio: tak przykładowo: |2 − √2| = 2 − √2 bo 2 > √2 więc wiemy że wyrażenie będzie > 0 |√3 − 2| = − √3 + 2 zmieniamy znaki bo 2 > √3

Godzio: ... bedzie zawsze dodatnie lub równe zeru