pomocy kajunia : potrzebuję obliczeń kilku całek . . . a) ∫2^xsinxdx= (przez częsci) kolejne to funkcji wymiernych:

	x3+x2−3x+4
b) ∫		dx=
	x2+x−2

	2x3+9x2+10x+2
c) ∫		dx=
	x3+3x2+2x

	5x2+4x+5
d) ∫		dx=
	x3+x2+2x+2

	1
e) ∫		dx=
	√4−9x2

kajunia : ponawiam...

kajunia : please pomóżcie . . .

Amelka: a) u=2^x v'=sinxdx du=2^xln(2)dx v=−cos 2^xcosx−∫−cosx+2^xln(2)dx 2^xcosx+sinx+∫2^x*0.7dx 2^xcosx+sinx+0.7*2^x/ln(2) 2^xcosx+sinx+2^x tak sądzę....

kajunia : odpowiedź mam jakąś z logarytmami naturalnymi ...

b.: poczatek Amelka napisala dobrze, wiec mozesz kajuniu probowac dalej (Amelka napisala u, u', v i v' poprawnie, dalej napisz sama...)

Amelka: −2xcosx+∫cosx*2xln(2)dx ... itd (juz mi lepek dzis nie pracuje)

kajunia : do tego tez juz doszłam, ale w odpowiedzi jest ułamek ... a mi nie wychodzi

b.: zgadza się, chociaż oczywiście jest tam 2^x nie 2x (niestety, potęgi się nie kopiują dobrze )

Amelka: a co masz w odpowiedzi to moze cos wydedukuje

b.: jeszcze raz przez części musisz...

Amelka: ale teoretycznie ln(2) da nam stała a tą można wyciągnać przed całke... o ile tak mozna?

kajunia :

ln2*2xsinx−2xcosx
	+c
1+ln22

kajunia : to jest odpowiedź

Amelka: [...]+0.7∫cosx2^x u=2^x v'=cosx du=2^xln(2)=2^x*0.7dx v=sinx −2^xcosx+0.7*2^xsinx−0.7∫sinx*2^x ∫sinx*2^x = −2^xcosx+0.7*2^xsinx−0.7∫sinx*2^x 1.7∫sinx*2^x = −2^xcosx+0.7*2^xsinx jakos tak mi wyszlo (juz sie pogubilam)

kajunia : a wiecie może jak rozwiązać te wymierne

Amelka: musisz podzielic wielomian przez wielomian ale nie pamietam juz jak to sie robilo

kajunia : te sie robi podstawiajac te literki w licznik a mianownik na czynniki... tylko oczywiscie mi inne wyniki wychodzą...

AS: Zad.1 L = ∫2^x*sinxdx Całkowanie przez części [∫u*dv = u*v − ∫v*du] u =2^x dv = sinxdx du = 2^x*ln2 v = −cosx L = 2^x*(−cosx) − ∫(−cosx)*2^x*ln2 = −2^x*cosx + ln2∫2^x*cosxdx = −2^x*cosx + ln2L1 [1] gdzie L1 = ∫2^x*cosx Ponownie przez części u = 2^x dv = cosxdx du = 2^x*ln2 v = sinx L1 = 2^x*sinx − ∫sinx*2^x*ln2 = 2^x*sinx − ln2*L [2] [2] wstawiam do [1] L = −2^x*cosx + ln2*(2^x*sinx − ln2*L) L = −2^x*cosx + ln2*2^x*sinx − (ln2)²*L L + (ln2)²*L = 2^x*(ln2*sinx − cosx)

	2x*(ln2*sinx − cosx)
L =		+ C
	1 + (ln2)2

AS: Zad 2. Przekształcam ułamek

x3 +x2 − 3*x + 4		x − 4		x − 4
	= x −		= x −
x2 + x − 2		x2 + x − 2		(x + 2)*(x − 1)

Rozkład na ułamki proste

A		B		x − 4
	+		=
x + 2		x − 1		(x + 2)*(x − 1)

(A + B)*x − A + 2*B = x − 4 ⇒ A = 2 , B = −1

	2		1
L = ∫(x +		−		)dx
	x + 2		x − 1

	x2
L =		+ 2*ln(x + 2) − ln(x − 1)
	2

	x2		(x + 2)2
L =		+ ln		+ C
	2		x − 1

przy zał. ze x − 1 > 0 i x ≠ 1 i x ≠ −2

kajunia : AS−dzięki Ci wielkie... już straciłam nadzieję, że ktoś mi pomoże

AS: Zad 3 Przekształcam ułamek

2*x3 + 9*x2 + 10*x + 2		3*x2 + 6*x + 2
	= 2 +		=
x3 + 3*x2 + 2*x		x3 + 3*x2 + 2*x

	3*x2 + 6*x + 2
2 +
	x*(x + 1)*(x + 2)

A		B		C		3*x2 + 6*x + 2
	+		+		=
x		x + 1		x + 2		x*(x + 1)*(x + 2)

A*(x + 1)*(x + 2) + B*x*(x + 2) + C*x*(x + 1) = 3*x² + 6*x + 2 po porównaniu współczynników do rozwiązania układ równan A + B + C = 3 , 3*A + 2*B + C = 6 , 2*A = 2 ⇒ A = B = C = 1 Szukana całka

	1		1		1
L = ∫(2 +		+		+		)dx
	x		x + 1		x + 2

L = 2*x + ln(x) + ln(x + 1) + ln(x + 2) L = 2x + lnx*(x + 1)*(x + 2) + C przy zał.że x*(x + 1)*(x + 2) > 0

kajunia : w zad.2 odwrotnie będą znaki tam gdzie − to + a gdzie + to − ale to kwestia ze tam w liczniki jest −1

AS: Zad 5.

	dx		x
∫		= arcxin		przy zał. ze a > |x|
	√a2 − x2		a

	dx		dx		1		x
∫		= ∫		=		arcsin		=
	√4 − 9*x2		3*√4/9 − x2		3		2   3

1		3*x
	arcsin		+ C
3		2

AS: Faktycznie mea culpa Ach ten pośpiech − proszę poprawić. Pozdrowienia − reszta póżniej.

kajunia : ale mimo wszystko wielkie dzięki to znak że nie można bezmyślnie przepisywać

kajunia : jeszcze z kilkoma mam problem: f) ∫ x√a+xdx=

	dx
g) ∫		=
	2x2+9x−5

h)∫ √8−2xdx= i) ∫ cos(lnx) dx= j) ∫ x√1−x²dx=

	1		1
k)∫ x10lnx		dx= ←ln z x do potęgi
	2		2

l) ∫ √e^x−1dx=

	dx
ł) ∫		=
	ex+e−x

kajunia :

Basia: ad.f t=a+x dt = dx x=t−a J=∫(t−a)*√t dt = ∫(t−a)*t^1/2 dt = ∫t^3/2dt − a∫t^1/2 dt =

t5/2		t3/2
	− a*		=
52		32

2		2a
	*t2+12 −		*t1+12 =
5		3

2		2a
	*t2*t12 −		*t1*t12 =
5		3

	t		a
2t√t*[		−		]
	5		3

możesz jeszcze sprowadzić do wspólnego mianownika

Basia: ad.g y=2x²+9x−5 Δ=9²−4*2*(−5)=81+40=121 √Δ=11 x₁=⁻⁹⁻¹¹₄=−5 x₂=⁻⁹⁺¹¹₄=¹₂ 2x²+9x−5=2(x+5)(x−¹₂) = (x+5)(2x−1)

	1
J=∫		dx
	(x+5)(2x−1)

1		A		B
	=		+		=
(x+5)(2x−1)		x+5		2x−1

A(2x−1)+B(x+5)
(x+5)(2x−1)

stąd A(2x−1)+B(x+5)=1 2AX−A+Bx+5B=1 x(2A+B)+(5B−A)=1 2A+B=0 −A+5B=1 /*2 2A+B=0 −2A+10B=2 −−−−−−−−−−−−−−−− 11B=2 B=²₁₁ 2A+²₁₁=0 2A= − ²₁₁ A= −¹₁₁ J= ∫ −¹₁₁*¹_x+5 dx + ∫ ²₁₁*¹_2x−1 dx =

	ln|x+5|
−		+ ∫211*12(x−0,5) dx =
	11

	ln|x+5|		ln|x−0,5|
−		+		=
	11		11

ln|x−0,5|−ln|x+5|
	= 111*ln|x−0,5x+5|
11

Basia: ad.h t=8−2x dt = −2dx dx = − ^dt₂ J=∫ √t *(−^dt₂) = −¹₂∫t^1₂ dt dokończ

Basia: ad.i t = lnx ⇒ x=e^t dt = ^dx_x dx = x*dt = e^tdt J = ∫ cost*e^t dt przez części u=cost u'= −sint v'=e^t v=e^t J = e^t*cost − ∫e^t*(−sint) dt = e^t*cost + ∫e^t*sint dt ponownie przez części u=sint u'=cost v'=e^t v=e^t ∫e^t*cost dt = e^t*cost + e^t*sint − ∫e^t*cost dt /+∫e^t*cost dt 2∫e^t*cost dt = e^t(sint+cost) J=∫e^t*cost dt = ¹₂e^t(sint+cost) = ¹₂e^x[ sin(lnx)+cos(lnx) ]

Basia: ad.j podstawienie t=1−x² policz sama, to dość proste

Basia: ad.k przez części

	1		1		1
u=ln√x u'=		*		=
	√x		2√x		2x

v'=x¹⁰ x=¹₁₁x¹¹

	x11*ln√x		1
J =		− ∫		*U{x11{11} dx =
	11		2x

x11*ln√x		1
	−		∫x10 dx
11		22

dokończ

Basia: ad.l t=e^x dt = e^xdx dx = ^dt_e^x = ^dt_t

	√t−1		t−1
J=∫ √t−1*dtt = ∫		dt = ∫		dt
	t		t√t−1)

podstawienie s = √t−1 ⇒ s²=t−1

	1
ds =		dt
	2√t−1

1		ds
	dt =
√t−1		2

	1		s2		1		s2+1−1
J =		∫		ds =		∫		ds =
	2		s2+1		2		s2+1

1		1
	*[ ∫1ds −∫		ds ] =
2		s2+1

1
	*[ s − arctgs]
2

wróć do t; potem do x możliwe, że byłoby szybciej z podstawieniem t=e^x−1 ale już nie chce mi się sprawdzać

Basia:

1		1		1
	=		=		=
ex+e−x		ex+1ex		(ex)2+1   ex

ex
(ex)2+1

podstawienie t=(e^x)² dt = 2e^x dx e^xdx=^dt₂ = ∫^dt₂*¹_t+1 = ¹₂∫¹_t+1 dt dokończ, to już oczywiste

Kajunia: Obliczyć pole obszaru ograniczonego prostą x=9 oraz łukiem paraboli y²=x.

Kajunia: Obliczyć pole obszaru ograniczonego prostą x=9 oraz łukiem paraboli y²=x.

AS: Coś dużo całek sprawia Tobie kłopot , chyba wszystkie.

Kajunia: ty nawet nie wiesz ile ich mam do policzenia

AS: I dlatego zlecasz liczenie innym.Daleko zajedziesz tą metodą.

kajunia : to jest kilka które mi nie wychodzi... zresztą o nie musisz sie o mnie martwić

b.: sadzac po literach podpunktow (a,b,c,... po kolei az do l) to jednak ze wszystkimi masz klopot

x: po to jest ta strona i te forum stworzone

AS: Mylisz się − ma pomagać a nie wyręczać,nie dawać gotowca bo mi się nie chce myśleć.