ciąg eulera Martyna: Mam problem z dwoma zadaniami z ciągu Eulera: u_n=(1− ³_n)ⁿ u_n= (ⁿ²⁺²_2n²+1)ⁿ²

Jack: a) u_n=((1+ ⁻³_n)^n/−3)⁻³=e⁻³

Jack:

	2n2+1		−n2+1		−n2+1
b)		+		=1+
	2n2+1		2n2+1		2n2+1

Stąd

	−n2+1
un=(1+		)n2=
	2n2+1

	−n2+1
=(1+		)(2n2+1)/(−n2+1)*n2*(−n2+1/2n2+1)=
	2n2+1

=e^−∞=0

Basia: b) można w prostszy sposób

	n2+2		n2(1+2n2)
(		)n2 = (		)n2 =
	2n2+1		n2(2+1n2)

	1+2n2
(		)n2→(12)+∞=0
	2+1n2

Jack: absolutnie nie chcę się czepiać, ale nie jestem pewien czy można jednocześnie przechodzić do granicy z tymi ułamkami i potęgą nawiasu. W przypadku (1+1/n)ⁿ to zostało udowodnione, że można − stąd mamy liczbę e. Natomiast tu mam wątpliwości. Proszę o wyjaśnienie.

b.: tak, z tym bywają kłopoty... można jednak pokazać, że jeśli podstawa dąży do a∊[0,1), a wykładnik do nieskończoności, to całość dąży do 0 pokażę to na przykładzie powyżej: ponieważ podstawa dąży do 1/2, więc od pewnego miejsca jest mniejsza od, powiedzmy, 3/4, więc

	1+2n2
0 < (		)n2 < (34)n2 od pewnego miejsca
	2+1n2

i teraz z tw. o 3 ciągach dostajemy, że szukana granica = 0 w praktyce po prostu przechodzi się do granicy równocześnie z podstawą i wykładnikiem, *o ile* podstawa jest nieujemna i nie mamy do czynienia z sytuacją 1^∞, 1^−∞ albo ∞⁰ (i na te sytuacje trzeba uważać!) [stokrotka]

b.: a a propos czepiania się, powinieneś Jack pisać gdzieś strzałki (przejścia graniczne), bo takich równości jak napisałeś to nie ma...

Jack: Racja, pisałem na kartce bez symbolu "lim", żeby było szybciej i przepisując zapomniałem dodać... Dzięki za cenny komentarz.