lukas: Czy istnieje funkcja, której pierwsza pochodna jest większa od zera w całej dziedzinie, ale funkcja nie jest rosną w całej dziedzinie? Jeżeli taka funkcja istnieje - podaj przykład wraz z uzasadnieniem, jeżeli nie istnieje - napisz dlaczego.

Basia: tak, np. taka f(x)= x+2n+1 w przedziałach <-2n-2;-2n) gdzie n∈N f(x)= x-2n+1 w przedziałach <2n,2n+2) gdzie n∈N to będą takie "kawałki" wykresu funkcji g(x)=x z przedziału <0,2) poprzesuwane w prawo i lewo o 2,4,6...... (w prawo) -2,-4,-6............. (w lewo) narysuj to sobie; inaczej nie zrozumiesz

lukas: dzieki

Basia: Lukas, te przedziały mają być otwarte a dziedziną ma być zbiór R-{2n; -2n : n∈N} W przeciwnym wypadku pochodna nie będzie dodatnia w całej dziedzinie, bo w punktach -2n,2n ta funkcja nie jest różniczkowalna (granica lewostronna#prawostronnej) Prostszym przykładem jest f(x)=|x| ale określona na R-{0} (bo w 0 nie jest różniczkowalna). Nie ma natomiast funkcji, która byłaby określona w całym R i różniczkowalna w całym R i spełniała podane warunki.

Basia: Jeszcze uogólnienie: Czy istnieje funkcja, której pierwsza pochodna jest większa od zera w całej dziedzinie, ale funkcja nie jest rosną w całej dziedzinie? nie istnieje taka funkcja ciągła; nieciagłe jak pokazałam na przykładach istnieją, bo |x| jeżeli jej dziedzinę ograniczymy do R\{0} też przestaje być ciągła w p-cie 0