Trójkąt Don Banano: Pomoze ktoooos? Pole trójkąta wynosi 1. Ile wynosi pole trójkąta zbudowanego z jego środkowych

robinka: wydaje mi się, że P=0,5, ale to za łatwe. pewnie się mylę

Amaz:

3
	? jeśli to poprawna odpowiedz, to przedstawię obliczenia
4

Don Banano: Jak uwazacie tak piszcie ja nie wiem nawet jak sie za to zabrac.

Don Banano: obliczenia sa najwazniejsze.

Amaz: a znasz poprawną odpowiedz? ja nie wiem nawet czy dobrze zinterpretowałem to zadanie, a obliczeń troche mam, więc nie chciałbym pisać tak dużo na darmo

Don Banano: nie znam odpowiedzi niestety. Ale duzo osob mowi ze ma wyjsc 1/2.Nie wiem dlaczego. A jak ty uwazasz

Amaz:

	3
no mi wyszło		, ale podejrzewam, że to dlatego, że źle zinterpretowałem to zadanie, więc
	4

moje rozwiązanie nic Ci nie da

Bogdan:

	3
Przedstaw Amaz swoje obliczenia, bo wynik		jest poprawny.
	4

Amaz: W treści zadania nie jest napisane jaki to ma być trójkąt, więc według założenia zadania, taki sam wynik bedzie dla kazdego trójkąta. Bez straty ogólności możemy wybrać sobie KONKRETNY trójkąt, który bedzie dla nas wygodny. Takim trójkątem bedzie trójkąt, który jest zarazem prostokątny i równoramienny, jego pole równe jest 1.

	a2
P=1=		⇒ a=√2, b=2
	2

Oznaczmy sobie środkowe jako s₁,s₂.s₃ Z tw. Pitagorasa mamy, że: s₁=1

	√10
s2=s3=
	2

Amaz: No to teraz tworzymy trójkąt równoramienny zbudowany z środkowych.

	√10
Ramię tego trójkąta ma długość
	2

	3
Z tw.Pitagorasa h=
	2

	1		3		3
Pole trójkąta zbodowanego z środkowych jest równe: P=1*		*		=
	2		2		4

Bogdan: Nie można dobierać sobie konkretnych i wygodnych elementów dla wyznaczenia określonej wielkości lub dla wykazania określonej prawidłowości, bo właśnie przez takie dobranie traci się ogólność rozważań. Zadanie pozostaje więc nadal otwarte. Należy wyznaczyć pole trójkąta zbudowanego ze środkowych trójkąta o danym polu powierzchni P.

Eta: P −−− pole trójkąta ABC P₁ −−− pole trójkąta zbudowanego ze środkowych ΔA^'C^'C −−− zbudowany z podwojonych środkowych ( na rys. z tw. odwrotnego do tw. Talesa zatem P(ΔA^'C^'C) = 4 P₁ ( bo są podobne w skali k= 2 ΔA^'C^'C składa się z trójkątów : BC^'A^' , BCC^' , BCA^' trójkąty te mają równe pola = polu Δ ABC bo: IBA^'I= IABI i h_AB−− tej samej długości środkowa CF dzieli ΔABC na dwa trójkąaty o równych polach zatem P(ΔCBC^')= P(ΔABC) czyli: P(ΔA^'C^'C) = 3P( ΔABC)= 3P ( z oznaczenia

	3
to: 4P1= 3P => P1=		P
	4

Pole trójkąta zbudowanego na środkowych trójkąta o polu 1 jest równe ³₄

Bogdan:

Eta: Dobry wieczór Bogdanie czy takie rozwiązanie uznasz za poprawne ? ..... czy przedstawisz ( jak zwykle ) jakiś inny , prostszy sposób . Pozdrawiam

Bogdan: Witaj Eto, bardzo mi się podoba Twoje rozwiązanie, bo jest bardzo proste, a takie rozwiązania najwyżej cenię Ja rozwiązałem to zadanie nieco inaczej, pokażę za chwilę to rozwiązanie. Warto problem pokazany w tym zadaniu pociągnąć dalej i budować w ten sam sposób kolejne trójkąty. Każdy trójkąt za wyjątkiem pierwszego jest zbudowany ze środkowych poprzedniego trójkąta. Jakie pola powierzchni mają kolejne trójkąty, jeśli pierwszy trójkąt ma pole równe P, jaki ciąg tworzą liczby równe polom powierzchni kolejnych trójkątów. Jaka zależność wiąże ze sobą długości boków co drugiego trójkąta?

Amaz: No ale przecież, skoro taki wynik jest prawdziwy dla wszystkich trójkątów, to ja mogę bez straty ogólności wybrać konkretny trójkąt, bo to zadziala dla wszystkich.

Bogdan: Niestety nie Amaz, skąd to przeświadczenie o zadziałaniu dla każdego trójkąta? Nie wystarczy powiedzieć: "tak, bo tak", trzeba jeszcze wykazać, że jeśli jakaś zależność jest prawdziwa dla równoramiennego i prostokątnego trójkąta, to jest także prawdziwa dla dowolnego trójkąta.

Bogdan: Mam nadzieję, że rysunek jest zrozumiały.

	1
Pole trójkąta ABC (niebieskiego): P1 =		* 4c * 2h = 4ch
	2

Pole trójkąta EDC (różowego, zbudowanego ze środkowych trójkąta ABC): P₂ = P_EFC + P_EFD

	1		1		1		3
P2 =		* 3c * h +		* 3c * h = 2 *		* 3c * h = 3ch =		* 4ch,
	2		2		2		4

	3
a więc P2 =		P1.
	4

	3
Jeśli P1 = 1, to P2 =
	4

Eta: Dobranoc