znajdz wartości najmniejsze i największe funkcji na wskazanych przedziałach: olx: znajdz wartości najmniejsze i największe funkcji na wskazanych przedziałach: a) f(x)=(x−3)2*e|x| , [−1,4] b) f(x)=1−|9−x2|, [−5,1] Proszę o pomoc, nie mam pojęcia jak to zrobić....

Lucyna: cóż, robię to zadanie dla takich funkcji: a) f(x) = (x−3)² ; [−1,4] mamy do czynienia z funkcją kwadratową, która ma miejsce zerowe dla x=3, osią symetrii jest x=3, ponieważ przedział na którym mamy znaleźć mini max naszej funkcji nie jest "równo" rozłożony na prawo i lewo, to największą wartość będzie miała w punkcie dalej położonym do x=3, zatem wartość max f(−1) = 16 min f(3) = 0, ponieważ ramiona paraboli są skierowane do góry, to najmniejsza wartość jaką może osiągnąć funkcja postaci (x−a)² jest równe 0. b) f(x) = 1 − |9 − x²|; [−5,1] najmniejszą wartość ta funkcja osiągnie tam gdzie |9 − x²| będzie miał największą wartość, największą wartość osiąga dla x=0 ( ponieważ pierwiastki to 3 i −3 a wierzchołek leży dokłodnie w połowie drogi między miejscami zerowymi, czyli w x=0) i f(0) = −8 teraz największa wartość, będzie wtedy gdy |9 − x²| będzie miało najmniejszą wartość, ponieważ interesuje nas aby odjąć jak najmniej, czyli chcemy aby |9 − x²| = 0 a to ⇔ x=3 lub x=−3 ale tylko x=−3 należy do przedziału, więc max mamy dla f(−3) = 1 − |9 − 9| = 1

Basia: ad.1 to chyba ma być f(x) = (x−3)²*e^|x| dla x∊<−1,0) mamy f(x)=(x−3)²*e^−x dla x∊<0,4> mamy f(x)=(x−3)²*e^x x∊<−1,0) to f'(x) = 2(x−3)*e^−x+(x−3)²*e^−x*(−1)= e^−x(2x−6−x²+6x−9)=e^−x(−x²+8x−15) x∊(0,4> to f'(x)=2(x−3)*e^x+e^x(x−3)²=e^x(2x−6+x²−6x+9)=e^x(x²−4x+3) w punkcie x₀=0 funkcja nie jest różniczkowalna −x²+8x−15=0 Δ=64−4*(−1)*(−15)=64−60=4 x₁=⁻⁸⁻²₋₂=5∉<−1,0) x₂=⁻⁸⁺²₋₂=3∉<−1,0) x²−4x+3=0 Δ=16−4*1*3=4 x₁=⁴⁻²₂=1 x₂=⁴⁺²₂=3 x∊(0,1) ⇒ x²−4x+3>0 ⇒ f'(x)>0 ⇒ f.rośnie x∊(1,3) ⇒ x²−4x+3<0 ⇒ f'(x)<0 ⇒ f.maleje x∊(3,4> ⇒ x²−4x+3>0 ⇒ f'(x)>0 ⇒ f.rośnie x_Max=1 x_min=3 f(1)=(1−3)²*e^|1|=4e f(3)=(3−3)²*e^|3|=0 należy jeszcze zbadać wartości na końcach przedziału i w p−cie 0 f(−1)=(−1−3)²*e^|−1|=16e f(4)=(4−3)²*e^|4|=e⁴ f(0)=(0−3)²*e^|0|=9 wartość największa: f(−1)=16e wartość najmniejsza: f(3)=0

Basia: ad.2 f(x)=1−|9−x²| w przedziale <−5,1> g(x)=9−x²=(3−x)(3+x) x∊(−∞,−3)∪(3,+∞) ⇒ 9−x²<0 x∊<−3,3> ⇒ 9−x²≥0 stąd: x∊<−5,−3) ⇒ f(x)=1−(−(9−x²))=1−(−9+x²)=−x²+10 x∊<−3,1> ⇒ f(x)=1−(9−x²)=x²−8 x∊<−5,−3) ⇒ f'(x)=−2x x∊(−3,1> ⇒ f'(x)=2x w punkcie x=−3 funkcja nie jest różniczkowalna −2x=0 ⇔ x=0∉<−5,−3) 2x=0 ⇔ x=0∊(−3,1> x∊(−3,0) ⇒ 2x<0 ⇒ f'(x)<0 ⇒ f.maleje x∊(0,1> ⇒ 2x>0 ⇒ f'(x)>0 ⇒ f.rośnie x_min=0 f(0)=1−|9−0²|=1−9=−8 i jak poprzednio f(−5)=1−|9−25|=1+16=17 f(−3)=1−|9−9|=1 f(1)=1−|9−1|=1−8=−7 wartość najmniejsza: f(0)=−8 wartość największa: f(−5)=17

Basia: oj błąd: f(−5)=1−16=−15 wartość najmniejsza: f(−5)=−15 wartość największa: f(−3)=1

Lucyna: racja nie sprawdziłam końca przedziałów dzięki Basiu za poprawienie.