EKSTREMUM FUNKCJI olx: EKSTREMUM FUNKCJI, prosze o pomoc. Mam kilka przykładów z którymi niedokońca umiem sobie pporadzic: 1) f(x) = 2sinx+cos2x obliczylam pochodna: f'(x)=2cosx−2sin2x f'(x)=0 wiec 2cosx−2sin2x=0 i niestety nie wiem jak to rozwiazac, nie umiem sobie tego nawet naszkicowac zeby potem odczytac jakos te ekstrema. Jaka jest dziedzina tej funkcji? 2) f(x)=(x−5)e^x pochodna: f'(x)=e^x+e^x(x−5) , przyrownalam to do zera i wyszlo mi, ze x=4 ale nie wiem jak teraz odczytac te ekstrema, jak to naszkicowac i jaka jest dziedzina tej funkcji. 3)f(x)=2arctgx−ln(1+x²)

	2−2x
pochodna: f'(x)=		, znow przyrownalam to do zera i wyszlo mi x=1 i znow nie wiem
	1+x2

jak to naszkicowac i jak odczytac ekstrema... tzn czy jest to minimum czy maksimum.

	1
4) f(x)=
	x2−x

	2x−1		1
pochodna: f'(x) =		po przyrownaniu do 0 x=		i znow nie wiem czy to
	(x2−x)2		2

jest min czy maks... Bardzo prosze o pomoc.

Basia: ad.1 D=R f'(x)=2cosx−2sin2x=2cosx−2*2sinxcosx=2cosx(1−2sinx) = 0 cosx=0 lub 1−2sinx=0 x=^π₂+2kπ lub x=^3π₂+2kπ lub sinx=u1}{2} x=^π₂+2kπ lub x=^3π₂+2kπ lub x=^π₆+2kπ lub x=^5π₆+2kπ po uporządkowaniu x₁=^π₆+2kπ x₂=^π₂+2kπ x₃=^5π₆+2kπ x₄=^3π₂+2kπ naszkicować wykres pochodnej raczej trudno będzie, łatwiej to rozwiązać rachunkowo x∊<0+2kπ,^π₆+2kπ) ⇒ cosx>0 i sinx<¹₂ ⇒ f'(x)<0 ⇒ f maleje x∊(^π₆+2kπ,^π₂+2kπ) ⇒ cosx>0 i sinx>¹₂ ⇒ f'(x)>0 ⇒ f.rośnie x∊(^π₂+2kπ,^5π₆+2kπ} ⇒ cosx<0 i sinx>¹₂ ⇒ f'(x)<0 ⇒ f.maleje x∊(^5π₆+2kπ,^3π₂+2kπ) ⇒ cosx<0 i sinx<0<¹₂ ⇒ f'(x)>0 ⇒ f.rośnie x∊(^3π₂+2kπ;2π+2kπ) ⇒ cosx>0 i sinx<0<¹₂ ⇒ f'(x)<0 ⇒ f.maleje maksima lokalne będą w punktach: ^π₂+2kπ i ^3π₂+2kπ minima lokalne będą w punktach: ^π₆+2kπ i ^5π₆+2kπ

jiji: jeżeli masz wątpliwości czy maksimum czy minimum to zawsze możesz skorzystać z 2−ego warunku dostatecznego, tzn. jeżeli pochodna parzystego rzędu jest w punkcie dodatnia to jest minimum, jeżeli ujemna to maksimum co do przykładu 1 pamiętaj że sin2x=2sinxcosx i cos x wyłączy się przed nawias, pamiętaj także że żeby funkcja miała w punkcie ekstremum to pochodna musi zmieniać znak

Basia: ad.2 f'(x) = e^x+e^x(x−5)=e^x(x−4) e^x>0 dla każdego x∊R ⇒ znak pochodnej zależy tylko od znaku x−4 x−4<0 ⇔ x<4 x−4>0 ⇔ x>4 x∊(−∞,4) ⇒ f'(x)<0 ⇒ f.maleje x∊(4,+∞) ⇒ f'(x)>0 ⇒ f.rośnie dla x=4 f. osiąga minimum lokalne

Basia: ad.3 i 4 po co to szkicować ? w mianownikach są kwadraty, czyli mianowniki są stale dodatnie znak pochodnej zależy tylko od liczników albo więc naszkicować tylko wykresy liczników, albo policzyć jak w zad.2

olx: aha, bardzo dziekuje jeszcze mam takie pytanie bo nie za bardzo rozumiem jak sie okresla te przedzialy : x∊<0+2kπ,π6+2kπ) ⇒ cosx>0 i sinx<12 ⇒ f'(x)<0 ⇒ f maleje x∊(π6+2kπ,π2+2kπ) ⇒ cosx>0 i sinx>12 ⇒ f'(x)>0 ⇒ f.rośnie x∊(π2+2kπ,5π6+2kπ} ⇒ cosx<0 i sinx>12 ⇒ f'(x)<0 ⇒ f.maleje x∊(5π6+2kπ,3π2+2kπ) ⇒ cosx<0 i sinx<0<12 ⇒ f'(x)>0 ⇒ f.rośnie x∊(3π2+2kπ;2π+2kπ) ⇒ cosx>0 i sinx<0<12 ⇒ f'(x)<0 ⇒ f.maleje

Basia: ja sobie szkicuję wykres sinusa i cosinusa w przedziale <0,2π) i odczytuję z wykresu dopisując wszędzie +2kπ bo sinus i cosinus to funkcje okresowe, a podstawowy okres = 2π możliwe, że są jakieś inne sposoby, ale jakoś mi nie przychodzą do głowy

olx: niestety mam jeszcze pewne pytanie. Rozwiazalam sobie przyklad 1 narysowalam sin i cos ale nie rozumiem dlaczego tu: x∊(5π6+2kπ,3π2+2kπ) ⇒ cosx<0 i sinx<0<12 ⇒ f'(x)>0 ⇒ f.rośnie x∊(3π2+2kπ;2π+2kπ) ⇒ cosx>0 i sinx<0<12 ⇒ f'(x)<0 ⇒ f.maleje f rosnie i maleje. Bo rozumiem,ze jesli oba sinus i cosinus sa > 0 to funkcja rosnie a gdy oba < 0 to malaje? a w tym przypoadku tego nie widze. tak samo w przykladzie 2 mam przedzialy (−∞,4) i (4,∞) ale nie wiem czemu w p[ierwszym funckja maleje a w drugim rosnie i czemu f'(x) jest mniejsze i wieksze od 0?

b.: 2. jest latwiejszy, wiec zacznij lepiej od niego f'(x) = e^x(x−4) badamy znak pochodnej: gdy x<4, to x−4<0, a e^x>0 (e^x jest zawsze dodatnie), więc iloczyn (x−4)*e^x, czyli f'(x) jest ujemny, czyli f maleje na (−∞,4)

olx: faktycznie, juz wiem , dziekuje!