nalepek: 1. Znajdz równanie okręgu, do którego należą trzy dane punkty: A=(-1,-2), B=(-3,4), C=(5,8) 2. Punkt P=(1,-1) jest końcem jednej ze średnic okręgu o(S,r), gdzie S=(-3,2). a) napisz równanie tego okręgu - to zrobilem i wyszlo mi (x+3)²+(y-2)²=25 b) wyznacz współrzędne drugiego końca tej średnicy okręgu - to też mam R=(-7,5) c) oblicz pole i obwód kwadratu wpisanego w ten okrąg 3. Napisz równanie okręgu symetrycznego do okręgu o równaniu x²+y²-4x-10y+20=0 względem prostej o równaniu x-2y-2=0 4. Na trójkącie prostokątnym ABC opisano okrąg. Jedną z przyprostokątnych trójkąta ABC jest odcinek o końcach A=(-3,-2) i B=(1,6). Środek okręgu opisanego na tym trójkącie należy do prostej o równaniu x-2y-3=0 a) napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC b) wyznacz współrzędne wierchołka C c) oblicz pole trójkąta ABC 5. Dane są proste o równaniach k: 2x+y=1, l: y+9=3x, m: ¹/₂x-y+6=0. Wyznacz: a) kąt przecięcia się prostych k i l b) współrzędne wierchołków trójkąta ograniczonego prostymi k,l,m - to akurat bym zrobil ; ] c) pole utworzonego trójkąta - to też d) pole koła opisanego na tym trójkącie 6. Przez punkt P=(²⁵/₃;0) poprowadzono styczne do okręgu o równaniu x²+y²=25. a) napisz równania tych stycznych b) oblicz pole trójkąta PKL, gdzie K i L są punktami styczności 7. Napisz równanie okręgu stycznego do obu osi układu współrzędnych, do którego należy punkt P=(-2,1) 8. Napisz równanie okręgu o promieniu długości r=50, wiedząc, że okrąg odcina na osi x cięciwę o długości 28 i przechodzi przez punkt K=(0,8) 9. Przez punkt P=(7,6) poprowadzono styczną do okręgu o równaniu x²+y²=5. Oblicz długość odcinka PK zawartego w stycznej, gdzie K-punkt styczności 10. W zależnośći od parametru m wyznacz liczbę punktów wspólnych okręgu o równaniu x²+y²-8x+6y=0 i prostej y-x=m 11. Dany jest punkt P=(-3,-1) i prosta k o równaniu 3x-2y-6=0. a) napisz równanie prostej k', która jest obrazem prostej k w symetrii względem punktu P b) wyznacz współrzędne punktu P', który jest obrazem punktu P w symetrii względem prostej k c) oblicz odległość prostych k i k'

Basia: 1. każdy okrąg ma równanie postaci (x-a)²+(y-b)²=r² a współrzędne podanych punktów spełniaja to równanie po podstawieniu kolejno za x i y dostaniesz układ 3 równań z 3 niewiadomymi (a,b,r) po jego rozwiązaniu możesz napisać równanie okręgu spróbuj, myślę, że potrafisz

nalepek: aha, w ten sposób tak tak, poradzę sobie, tylko własnie potrzeba mi wskazówek jak się zabrać do tych zadań

Basia: 2. przekątna kwadratu musi być średnicą okręgu (bo wpisany kąt prosty jest oparty na półokręgu) czyli przekątną twojego kwadratu jest odcinek o długości PR mając przekatną obliczysz długość boku i gotowe

Basia: teraz muszę skoczyć do sklepu; może ktoś inny udzieli Ci wskazówek do pozostałych zadań; jeśli nie popiszę po powrocie

nalepek: 2. no własnie zastanawiałem się czy średnica jest przekątną kwardatu bo z moich wspaniałych rysunków nie wychodziło mi to

Basia: rysunek zawsze jest tylko szkicem sytuacyjnym; bywają sytuacje odwrotne: z rysunku wynika coś co nie musi być prawdą bo "narysował się nam" jakiś szczególny przypadek 3. przekształć równanie okregu do postaci kanonicznej; znajdź jego środek S i promień r okrag symetryczny do danego będzie miał środek S' symetryczny do S względem podanej prostej czyli: równanie prostej prostopadłej do danej i przechodzącej przez S punkt wspólny tych prostych P (czyli układ równań) wektor SP=wektorPS' i z tego mamy współrzędne S'; promień jest taki sam piszemy równanie okregu w postaci kanonicznej i ewentualnie przekształcamy do ogólnej

Basia: 4a. szukasz punktu S którego współrzędne spełniają równanie prostej i takiego, że SA=SB=r b. środek okręgu opisanego na tr.prostokatnym jest środkiem przeciwprostokatnej czyli: wektror AS = wektor SC lub BS= SC będą dwa możliwe trójkaty (prawdopodobnie) c)pole to iloczyn przyprostokatnych / 2 nie daj się zasugerować; prosta której równanie masz podane nie jest przeciwprostokatną bo nie należy do niej ani A ani B

Basia: 5a. k: 2x+y=1, l: y+9=3x, m: 1/2x-y+6=0. każde z tych równań przekształć do postaci y=ax+b wówczas tgα=a gdzie α kąt nachylenia prostej do osi OX k: y=-2x+1 l: y=3x-9 czyli tgα=-2 tgβ=3 czyli α>β szukamy kata α-β zastosuj wzór na tg(α-β) i gotowe 5d. znajdż środek tego okręgu jest to taki punkt S dla którego SA=SB=SC gdzie A,B,C wierzchołki trójkata r=SA wzór na pole i gotowe

Basia: 6. y=ax+b P=(25/3;0) należy do tej prostej 0=²5/₃a+b b=-²5/₃a y=ax-²5/₃a styczne mają dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem czyli układ równań y=ax-²5/₃a x²+y²=25 musi mieć dokładnie jedno rozwiązanie Δ=0 to znów będzie równanie kwadratowe z niewiadomą a i będą dwa rozwiązania a₁ i a₂ po napisaniu równań prostych rozwiązujemy dwa układy równań prosta okrag i mamy punkty styczności K,L P był dany więc mamy wszystkie wirerzchołki i obliczamy pole (napisałeś, że wiesz jak)

Basia: 7. (x-a)²+(y-b)²=r² jeżeli okrąg jest styczny do obu osi to |a|=|b| (czyli a=b lub a=-b) i r=|a| czyli (x-a)²+(y-a)²=a² lub (x-a)²+(y+a)²=a² P=(-2,1) należy do okręgu podstawiamy za x i y i mamy równania z jedną niewiadomą a powinny być dwa rozwiązania

Basia: nad tym 8 muszę trochę pomyśleć, bo cos mi się nie zgadza

nalepek: nie wiem jak dziękować dziękuje, dziękuje

Basia: 8. muszę chyba napisać w całości bo bez rysunku trudno mi to wyjaśnić nasz okrag przechodzi przez punkty: P(0,8) A(c,0) i B(c+28,0) stąd (0-a)²+(8-b)²=50² a²+(8-b)²=50² (c-a)²+(0-b)⁼50² (c+28-a)²+(0-b)²=50² z 2 i 3 mamy (c-a)²=50²-b² (c+28-a)²=50²-b² czyli (c-a)²=(c+28-a)² c-a=c+28-a niemożliwe lub c-a=-c-28+a 28=2a-2c a-c=14 c-a=-14 wstawiamy do 2 (14)²+b²=50² no a dalej to już chyba jasne

Basia: 9. skorzystaj ze wskazówek do 6 10. W zależnośći od parametru m wyznacz liczbę punktów wspólnych okręgu o równaniu x²+y²-8x+6y=0 i prostej y-x=m rozwiązujesz układ równań bo punkty wspólne muszą spełniać i równanie prostej i równanie okręgu dostaniesz równanie kwadratowe z niewiadomą x i parametrem m badasz liczbę rozwiązań w należności od m czyli liczysz Δ i badasz kiedy Δ<0 (nie ma rozwiązania); Δ=0 (jedno rozwiązanie); Δ>0 (dwa rozwiązania)

Basia: 11. Dany jest punkt P=(-3,-1) i prosta k o równaniu 3x-2y-6=0. a) napisz równanie prostej k', która jest obrazem prostej k w symetrii względem punktu P b) wyznacz współrzędne punktu P', który jest obrazem punktu P w symetrii względem prostej k c) oblicz odległość prostych k i k' a) wybieramy dwa punkty z prostej k: najprościej wybrać punkty przecięcia z osiami z OY: x=0 -2y-6=0 2y=-6 y=-3 A(0,-3) z OX: y=0 3x-6=0 3x=6 x=2 B(2,0) szukamy A' i B' korzystając z tego, że → → → → PA = -PA' PB = - PB' i piszemy równanie prostej A'B' to jest k' b) pr.PP' jest prostopadła do k S punkt wspólny k i pr.PP' → → SP = - SP' c) punkty wspólne dowolnej prostej prostopadłej do k i k' np.PP' z k i k' a potem ich odległość zdaje się, że są też jakieś wzory na odległość punktu od prostej, wtedy wystarczy jeden punkt należący do k i równanie k'; podstawiasz do wzoru in gotowe

Basia: jeśli będziesz miał jeszcze jakieś watpliwości pytaj; chętnie odpowiem; to znacznie przyjemniejsze niż tworzenie "gotowców"

nalepek: dziękuje slicznie, przejrze te zadania po kolei, jakby coś to napisze

nalepek: zadanie nr. 4 nie wiem jak się zabrać do obliczenia współrzędnych tego punktu S

Basia: A=(-3,-2) i B=(1,6). Współrzędene środka spełniają równanie prostej czyli x-2y-3=0 x=2y+3 S(2y+3,y) AS=BS czyli √(2y+3+3)²+(y+2)²=√(2y+3-1)²+(y-6)² podnosimy do kwadratu (obustronnie) i rozwiązujemy równanie z niewiadomą y chyba wyjdzie zwykłe liniowe (1 stopnia) potem obliczamy x

nalepek: Zadanie 6 mam równania tych stycznych, tj.: y=³/₄x - ²⁵/₄ i y= - ³/₄x + ²⁵/₄ (wyniki takie powinny byc bo w odpowiedziach z ksiązki tak jest) i robiąc układ równań y=³/₄x - ²⁵/₄ x²+y²=25 podstawiam sobie pod drugie równanie za y² mam równanie kwadratowe, z którego Δ<0 z drugiego to samo..

Basia: x²+(9/16)x²-(150/16)x+625/16=25 /*16 16x²+9x²-150x+625-400=0 25x²-150x+225=0 /:25 x²-6x+9=0 Δ wg mnie będzie =0 musiałeś się pomylić przy podstawianiu i podnoszeniu do kwadratu

nalepek: ahh. noo. 150:25 u mnie wyszło 5 i z tąd źle dziękuje

sss: dasvdvs

sss: ²

df: Ω

andrzej: napisz równanie okręgu o promieniu 5, do którego należą punkty A i B A(−6,0) B(4,0)