ciągi Kuba: Wyznacz wzór na n−ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego wyrazów jest równa 10, a wyraz trzeci, piaty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.

Lucyna: S₅ = 10

a1+a5
	5 = 10 /:5
2

	a1+a5
a3 =		= 2
	2

teraz a₃, a₅, a₁₃ tworzą ciąg geometryczny czyli 2, 2+2r, 2+10r tworzą ciąg geometryczny, teraz korzystając z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy: (2+2r)² = 2(2+10r) a z tym powinieneś sobie już poradzić.

Godzio: a₁,a₂,a₃, ..., a_n − ciąg arytmetyczny S₅ = 10 a₃, a₅, a₁3 − ciąg geometryczny a_n = ?

	a1 + a5
S5 =		* 5 = 10
	2

a₁ + a₅ = 4 2a₁ + 4r = 4 a₁ + 2r = 2 a₁ = 2 − 2r a₅² = a₃ * a₁₃ (a₁ + 4r)² = (a₁ + 2r)(a₁ + 12r) a₁² + 8a₁r + 16r² = a₁² + 14a₁r + 24r² 0 = 8r² + 6a₁r 0 = 4r² + 3a₁r 0 = 4r² + 3r(2−2r) 0 = 4r² + 6r − 6r² 0 = r² − 3r 0 = r(r−3) => r = 3 a₁ = 2 − 6 = −4 a_n = a₁ + (n−1)*3 = −4 + 3n − 3 a_n = 3n − 7

Godzio: trochę skomplikowanie to zrobiłem

bajka: a₁ +a₁+r+a₁+2r+a₁+3r+a₁+4r= 10 5a₁+10r= 10 => a₁+2r=2 => a₃= 2 2, a₅, a₁₃ −−− tworza ciąg geom. 2, 2+2r, 2+10r −−−− tworzą ciag geom to: (2+2r)² = 2( 2+10r) 4( 1+r)²= 4( 1+5r) 1+2r+r² = 1+10r+25r² 24r² +8r=0 => r=0 v r= −¹₃ dla r= 0 −−− ciąg jest stały : 2,2,2,2, ..... to a_n= 2 dla r= −¹₃ a₃= a₁+2r= 2 a₁= 2+²₃= 2²₃ to: a_n= a₁+(n−1)*r a_n= 2²₃ −¹₃n +¹₃ a_n= −¹₃n +3 odp: są dwa takie ciągi spełniajace warunki zadania: a_n= 2 lub a_n= −¹₃n +3

Lucyna: no tak zabrakło mi wzoru na wyraz ogólny

Godzio: bajka 4(1+r)² = 4(1 + 5r) − tutaj podniosłaś do kwadratu

Godzio: i widze że zapomniałem o drugiej możliwości a_n =2

bajka: Racja [P[Godzio} poprawiam: (1+r)²= 1+5r r² +2r+1 = 1+5r => r² −3r=0 => r=0 v r= 3 dla r=0 ciąg stały: 2,2,2,2...... a_n= 2 dla r= 3 a₃= a₁ +2r => a₁ = 2− 6 = −4 −4, 1, 2, 5, 8,...... a_n=a₁+(n−1)*r= −4+(n−1)*3= 3n −7 odp: a_n= 2 lub a_n = 3n −7 teraz ok