Rozwiąż równania trygonometryczne Michał: Mam problem z paroma przykładami równań trygonometrycznych Mam nadzieję, że ktoś pomoże a) cos(2x−^π₆)−cos(x+^π₆)=0 b) tg2x=tg(3x−^π₆) c) sin3x=sin(x+^π₄) d) cos²3x−¹₂cos3x=0 e) sin²(¹₂x)+1=2sin(¹₂x) f) ctg³=3ctgx

Godzio: a)

	π		π
cos(2x −		= cos(x +		)
	6		6

	π		π
2x −		= x +		+ 2kπ
	6		6

	π
x =		+ 2kπ
	3

b)

	π
tg2x = tg(3x −		)
	6

	π
2x = 3x −		+ kπ
	6

	π
x =		− kπ
	6

c)

	π
3x = x +		+ 2kπ
	4

	π
2x =		+ 2kπ
	4

	π
x =		+ kπ
	8

d)

	1
cos3x(cos3x −		) = 0
	2

	1
cos3x = 0 v cos3x =
	2

	π		π		π		π
3x =		+ 2kπ v x = −		+ 2kπ v 3x =		+ 2kπ v x = −		+ 2kπ
	2		2		3		3

e)

	1
sin(		x) = t
	2

t² − 2t + 1 = 0 (t − 1)² = 0 t = 1

	1
sin(		x) = 1
	2

1		π
	x =		+ 2kπ
2		2

x = π + 4kπ f) popraw zapis co do "a" musze jeszcze coś sprawdzić także czekaj

Godzio: a) poprawka

	π		π		π		π
2x −		= x +		+ 2kπ v 2x −		= −x −		+ 2kπ
	6		6		6		6

	π		2
x =		+ 2kπ v 3x = 2kπ => x =		kπ
	3		3

	π		2
x =		+ 2kπ v x =		kπ
	3		3

Michał: f) ctg³x=3ctgx W a) i c) są na 100% 2 rozwiązania − do tych które ty podałeś sam doszedłem... ale właśnie nie wiem skąd jest to drugie rozwiązanie Prosiłbym także o wyjaśnienie e), bo kompletnie nie rozumiem tego zapisu

Michał: Widzę że się spóźniłem − w takim skąd takie rozwiązanie w a) − bardzo chciałbym to zrozumieć

Godzio: rzeczywiście: c)

	π		π
3x = x +		+ 2kπ v 3x = π − (x +		) + 2kπ
	4		4

	π		3
2x =		+ 2kπ v 4x =		π + 2kπ
	4		4

	π		3		1
x =		+ kπ v x =		π +		kπ
	8		16		2

f) ctg³x − 3ctgx = 0 ctgx(ctg²x − 3) = 0 ctgx(ctgx − √3)(ctgx + √3) = 0 ctgx = 0 v ctgx = √3 v ctgx = −√3

	π		π
sprzeczność v x =		+ kπ v x = −		+ kπ
	6		6

Godzio: załóżmy że:

	1
cosx =		wtedy rozpisuje się to na:
	2

	π		π
x =		+ 2kπ v x = −		+ 2kπ
	3		3

i tak samo jest z takimi przykładami

	1
sinx =
	2

	π		π
x =		+ 2kπ v x = π −		+ 2kπ
	6		6

ogólnie: sinx = a x = α + 2kπ v x = π − α + 2kπ cosx = a x = α + 2kπ v x = −α + 2kπ gdzie k ∊ C, a ∊<−1,1> , α jest kątem odpowiadającym odpowiedniej wartości

Michał: To rozumiem, muszę sobie to tylko jeszcze jakoś w głowie ułożyć, żeby dojrzeć to w tych przykładach Wielkie dzięki za ekspresową pomoc!

Godzio: