różniczka zupełna, ekstrema lokalne funkcji Monika: 1.) Stosując różniczkę zupełną oblicz przybliżoną wartość wyrażenia: (1,02)^3,01 (1,01)^2,03 √(6,2)²+(8,1)² 2.) Wyznacz ekstrema lokalne funkcji: f(x,y)=−x⁴+8x³−24x²+32x−y²+2y−5

Basia: f(x,y)=x^y P(1,3) dx=0,02 dy=0,01 f(1,3)=1³=1

df
	(x,y)=y*xy−1
dx

df
	(1,3)=3*12=3
dx

df
	(x,y)=xy*lnx
dy

df
	(1,3)=13*ln1=0
dy

(1,02)^3,01 ≈ 1+3*0,02+0*0,01=1,06 podpunkt (b) identycznie (ta sama funkcja) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− f(x.y)=√x²+y² P(6,8) dx=0,2 dy=0,1 f(6,8)=√36+64=10

df		1		x
	(x,y) =		*2x =
dx		2√x2+y2		√x2+y2

df		1		y
	(x,y) =		*2y =
dy		2√x2+y2		√x2+y2

df		6
	(6,8)=		=0,6
dx		√36+64

df		8
	(6,8}=		=0,8
dy		√36+64

√6,2²+8,1²≈ 10+0,2*0,6+0,1*0,8 dokończ sobie obliczenia

Basia: ad.2

	df		df
Policz najpierw		i
	dx		dy

Podaj wyniki, potem spróbujemy policzyć dalej

Monika: no właśnie z obliczeniem df/dx i df/dy mam problem, to muszę policzyć pochodną z jednego i drugiego i to podzielić? tzn pochodną z df i później z dx i to podzielić df/dx?

Basia: nie;

	df
symbol		oznacza pochodną funkcji po x
	dx

	df
symbol		oznacza pochodną funkcji po y
	dy

f(x,y)=−x⁴+8x³−24x²+32x−y²+2y−5

df
	= 4x3+24x2−48x+32
dx

df
	= −2y+2
dy

licząc pochodną po x y traktujesz jak liczbę licząc pochodną po y x traktujesz jak liczbę teraz trzeba policzyć drugą pochodną

df		df
	czyli z		po x
(dx)2		dx

df		df
	czyli z		po y
dxdy		dx

df		df
	czyli z		po y
(dy)2		dy

df		df
	czyli z		po x
dydx		dy

	df		df
jeżeli		≠		koniec zabawy, bo na pewno nie ma ekstremów lokalnych
	dxdy		dydx

	df		df
jeżeli		=		trzeba liczyć dalej
	dxdy		dydx

No to spróbuj te drugie pochodne policzyć Napisz jakie wyniki dostałaś

Monika: oki, zaraz napiszę co mi wyszło

Monika: ok, czyli liczę df/dx po y i df/dy po x? mi wyszlo; df/dx=32 df/dy=2

Basia: nie poprawka, bo przeoczyłam , że tam jest −x⁴

df
	=−4x3+24x2−48x+32
dx

df
	=−12x2+48x−48
(dx)2

df
	=0
dydx

df
	=−2y+2
dy

df
	=−2
(dy)2

df
	=0
dxdy

mogą istnieć ekstrema lokalne szukamy miejsc zerowych pierwszych pochodnych −4x³+24x²−48x+32=0 −2y+2=0 −2y=−2 y=1 rozwiązanie tego pierwszego równania będzie dosyć czasochłonne ale: 2 jest pierwiastkiem W(x)=−4x³+24x²−48x+32 bo W(2)=−4*8+24*4−48*2+32=0 dzielimy −4x³+24x²−48x+32 : (x−2) = −4x²+16x−16 4x³−8x² −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 16x²−48x+32 −16x²+32x −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −16x+32 16x−32 −−−−−−−−−−−−−−−−−−− === −4x³+24x²−48x+32 =(x−2)(−4x²+16x−16) = −4(x−2)(x²−4x+4)=−4(x−2)(x−2)²=−4(x−2)³ x=2 jedynym punktem "podejrzanym" o ekstremum jest P(2,1)

df
	(2,1)=−12*4+48*2−48=−48−48+2*48=0
(dx)2

	df		df		df		df
W =		*		−		*		= 0
	(dx)2		(dy)2		dx		dy

nie da się stwierdzić czy w tym punkcie istnieje ekstremum lokalne chyba, że się gdzieś w rachunkach pomyliłam może Bogdan zechciałby sprawdzić

Monika: dziękuję bardzo, mam nadzieję że teraz jakoś to zrozumiem, a dlaczego w tych końcowych obliczeniach podstawiła Pani df/(dx)² to można obojętnie które podstawić z tych 4 wzorów?

Bogdan: Witaj Basiu , nie pomyliłaś się w rachunkach.

Monika: czyli jak mam pochodną f(x,y)=3x³+3x²y−y³−15x czyli df/dx=9x²6xy−15 i df/dy=3+3y−3y² prosiłabym o sprawdzenie czy dobrze myślę

Monika: przepraszam df/dx= 9x²+6xy−15

Basia:

df
	dobrze
dx

df
	=3x2−3y2
dy

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ad.pytanie

	df		df		df
normalnie wszystkie się liczy, skoro jednak		=0 i		=		=0
	(dx)2		dydx		dxdy

	df
już wiadomo, że W=0 i dlatego nie liczę
	(dy)2

adq: 345≈≈←∫∫∫25xdx √243 dfa=afa main (){ int a,b; char tab[][];