Całki niewłaściwe Edek: Parę zadanek z całek niewłaściwych i oznaczonych: Całki typu:

	dx
∫		na przedziale [a,b]
	√(x−a)(x−b)

dziedzina wychodzi mi (−∞,a)u(b,+∞) a w odp. jest π więc sam już nie wiem czy da się to rozwiązać czy nie, podobnie z całką

	x
∫√		dx gdzie przedział całkowania jest [0,1] a dziedzina mi wychodzi (−∞,0)u(1,+∞)
	x−1

Kolejny problem jest taki, że nie wiem jak rozwiązać podane całki

	1		−x
∫		*√1+(		)2dx
	x2−1		√(x2−1)3

	lnx
oraz ∫		*√x2+1dx
	x

proszę o pomoc lub podpowiedzi i oczywiście wszystkim dziękuję

Basia: w tych dwóch pierwszych chyba coś poknociłeś, bo tak jak jest odpowiedź jest krótka: takie całki nie istnieją

	x
może tam ma być (a−x)(b−x) i
	1−x

wtedy to miałoby sens co do 3 i 4 muszę pomyśleć

Basia: ad.3 i 4 czy takie są oryginalne całki do policzenia, czy już sam coś tam przekształcałeś ? jeśli tak to podaj oryginały

Lucyna: zakładam, że wiesz o co chodzi w całkach więc ten pierwszy przykład, to jak tam wymnożysz pod pierwiastkiem sprowadź do postaci (x−^a+b₂)²−(^a−b₂)² później podstawienie za x−^a+b₂ = t zmień granice całkowania i otrzymasz wzór całki na ln, bo będziesz miał (√t²−c²)⁻¹ gdyby pod pierwiastkiem zamiast (√t²−c²)⁻¹ było (√−t²+c²)⁻¹ to odpowiedzią byłby arcsin i może wtedy pasowałoby to π w odpowiedzi, ale dawno całek nie gryzłam więc dokładniej musisz sam pogłówkować

Lucyna: no dobra, przedział całkowania jest rozłączny z dziedziną

Basia: Tam chodzi o całkę oznaczoną, a nie można całkować na przedziale, w którym funkcja nie jest określona; można całkować jeśli jest nieokreślona na jednym (lub obu) końcach przedziału, ale nie wtedy kiedy w ogóle w przedziale <a,b> nie istnieje

Edek: co do 1 i 2 tak jest dokładnie napisane i właśnie sam się dziwiłem, być może autor właśnie gdzieś pominął "−". Co do tych dwóch ostatnich, to pełne treści brzmią:

	1
3. Obliczyć pole powierzchni bryły obrotowej powstałej przez obrót krzywej f(x)=
	√x2−1

wokół osi Ox na przedziale [2,4]

	1
próbowałem tu już podstawień I, III Eulera oraz za x=		, ale zawsze wychodzi licznik
	cost

nierozkładalny, np. pod pierwiastekiem t³+t+1 lub także pod pierwiastkiem sin⁶x + cos⁴x 4. Obliczyć pole powierzchni bryły obrotowej powstałej przez obrót krzywej f(x)=lnx wokół osi Ox na przedziale [1,e] tutaj przez części niema sensu bo i tak jak będę chciał żeby ln zniknął to z drugiej funkcji wyjdzie ln więc to jest bez celowe, podobie przez podstawienie za lnx=t, wychodzi ∫t√e^2x+1dt

Basia: spróbuję to policzyć, ale nie teraz; teraz muszę przerwać przynajmniej na 2,3 godziny

Edek: okej i tak bardzo dziękuję za same chęci

Basia: Niestety dostaję takie same wyniki jak Twoje. Łącznie z t³+t+1. Myślę, że tu jest potrzebna jakaś sztuczka, ale niestety nie wiem jaka. Żadnego podobnego przykładu nigdzie nie mogę znaleźć. Chyba na dzisiaj muszę się poddać.

Basia: Jeśli chodzi o drugie to możliwe, że uda się tak: obracam funkcję odwrotną czyli x=e^y wokół osi OY w przedziale y₁=ln1=0 y₂=lne=1 bryła będzie ta sama to i powierzchnia ta sama S=∫e^y*p{1+e^2y dy

	1		e2y
f(y)=√1+e2y f'(y)=		*e2y*2 =
	2√1+e2y		√1+e2y

g'(y)=e^y g(x)=e^y

	e3y
S=ey*√1+e2y−∫		dy
	√1+e2y

t=1+e^2y dt = 2*e^2y dy

	dt
e2ydy=
	2

t₁=1+e⁰=2 t₂=1+e¹=e+1 e^2y=t−1 e^y=√t−1

	√t−1		t−1
S1 = ∫		dt = 12 ∫		dt
	2√t		√t2−t

ti już się da pocałkować

Basia: z tą pierwszą tej metody nie próbowałam, ale może............ chociaż intuicja raczej mi mówi, że nie spróbuj i napisz czy się udało jeśli nie to trzeba poczekać na natchnienie ten pomysł z odwrotną przyszedł mi do głowy nagle i niespodziewanie

Edek: dobra będę próbował, jct. odpiszę czy się udało bez odbioru i naprawdę bardzo Ci dziękuję

Edek: ajj, chyba się nie uda, bo w 1 mamy punkt nieosobliwy, naszą "wyrwę" w dziedzinie

Edek: nie, nie powyższy post to skutek mego podniecenia się , ale z tego co widzę to z funkcji odwrotnej będzie inna bryła względem osi OY

Basia: Witaj ! Poprawka do drugiego. Źle policzyłam nowe granice całkowania. y₁=1 y₂=e (tak jak x₁ i x₂) bo wykresy są symetryczne względem prostej y=x i punkt (0,1) przechodzi na (1,0) a (0,e) na (e,0) siła rzeczy t₁ i t₂ też będą inne t₁=1+e² t₂=1+e^2e co do pierwszego to niestety tak dobrze chyba nie będzie i nadal nie mam pomysłu

Basia: ad.pierwsze to jest zadanie z Krysickiego co ciekawe, w odpowiedziach jest podana objętość, a pole powierzchni już nie zastanawiam się czy to jest w ogóle do policzenia