ZAdania troszkę dla ambitnych Małgosia: Wyznacz ciąg arytmetyczny. (a_n) a) a₄−a₂=4 a₂*a₄=32 b) a₁*a₂=6 a₂+a₄=8

Eta: Lucyna ..... pomóż Małgosi Nie zrażaj się uwagami Gustlika ... Ja idę zrobić herbatkę .

Gustlik: a) a₄−a₂=4 a₂*a₄=32 a₄−a₂=2r 2r=4 /:2 r=2 a₂=a₁+r=a₁+2 a₄=a₁+3r=a₁+6 (a₁+2)(a₁+6)=32 a₁²+6a₁+2a₁+12=32 a₁²+8a₁+12−32=0 a₁²+8a₁−20=0 Δ=b²−4ac Δ=8²−4*1*(−20)=64+80=144 √Δ=12

	−8−12		−20
a1'=		=		=−10
	2		2

	−8+12		4
a1''=		=		=2
	2		2

a₁=−10 i r=2 a_n=a₁+(n−1)*r=−10+(n−1)*2=−10+2n−2=2n−12 lub a₁=2 i r=2 a_n=a₁+(n−1)*r=2+(n−1)*2=2+2n−2=2n b) a1*a2=6 a2+a4=8 /:2 U{a2+a4}=4 a₃=4 a₁=a₃−2r=4−2r a₂=a₃−r=4−r (4−2r)(4−r)=6 16−4r−8r+2r²=6 2r²−12r+16−6=0 2r²−12r+10=0 /:2 r²−6r+5=0 Δ=36−4*1*5=36−20=16 √Δ=4

	6−4		2
r1=		=		=1
	2		2

	6+4		10
r2=		=		=5
	2		2

a₁'=4−2r₁=4−2*1=2 a₁''=4−2r₂=4−2*5=4−10=−6 a₁'=2 i r=1 a_n=a₁+(n−1)*r=2+(n−1)*1=2+n−1=n+1 lub a₁''=−6 i r=5 a_n=a₁+(n−1)*r=−6+(n−1)*5=−6+5n−5=5n−11

Eta:

Gustlik: w b) miało być tak:

a2+a4
	=4 → zapomniałem wpisać 2 w mianowniku, reszta obliczeń jest dobrze.
2

a3=4 Eta, ja po prostu chcę pokazać prostsze od szkolnych metody rozwiązywania i bardziej obrazowe, to mają na celu moje uwagi, a właściwie są to sugestie, a nie uwagi. Osobiście jestem wrogiem szkolnych metod okrężnych, bo dla wielu osób sa one mało zrozumiałe i potem jest czarna rozpacz, bo mamy obowiązkową maturę z matematyki. Pokazuję proste metody NIE POKAZYWANE PRZEZ NAUCZYCIELI.

Eta: Wszystko rozumiem , tylko ,że w szkołach (niestety) ale większość nauczycieli rozwiązuje tego typu zadania metodą układów równań , z a₁ i r. Nic na to nie poradzimy . Ja osobiście też stosowałam tę metodę , którą tu podajesz ( dawne dobre czasy) A i matura była o wiele trudniejsza do zdania i jakoś prawie wszyscy ją zdawali i to z niezłymi wynikami. Podajemy dlatego rozwiązania takie , jakich wymagają dzisiejsi ( nie wszyscy) nauczyciele tego pięknego przedmiotu. wiele by pisać na ten temat ....... Pozdrawiam

Gustlik: No właśnie. Jak widzisz, Eta, ogromna większość zadań z ciągami, zwłaszcza z ciągiem arytmetycznym, jest mozliwa do rozwiązania BEZ UKŁADU RÓWNAŃ, zazwyczaj rozwiązuje się po dwa równania z JEDNĄ niewiadomą. Myślę, ze warto, bo jest wielu nauczycieli, którzy nie tępią innych metod, ewentualnie pytają się ucznia, skąd zna tę metodę. Dlatego podaję te metody. Ja mam tu na myśli tez maturzystów, dla których czas jest bardzo cenny na egzaminie.

Basia: 1. Gustlik może się złościć, ale tak na prawdę też rozwiązuje układ równań. a₉=a₁+8r a₅=a₁+4r −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− a₉−a₅=a₁+8r−a₁−4r = 4r oczywiście tą samą metodą pokazujemy, że a_n−a_m=(n−m)*r w ciągu arytmetycznym

an
	=qn−m
am

w ciągu geometrycznym tylko czy warto to pamiętać skoro to i tak widać natychmiast po zapisaniu wzoru ogólnego na wyrazy ciągu widać ? −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 2. nadmierne upraszczanie sposobów rozwiązania zbyt często daje opłakane efekty przejrzyjcie zadania, w których końcowym równaniem jest np. q⁴=16 x²=2 itp. w 99 przypadkach na 100 brak drugiego pierwiastka a bierze się to z rezygnacji z przyrównania do 0 i rozkładu na czynniki nie ma nic złego w omijaniu tego rozkładu, pod warunkiem, że pamięta się o pierwiastku ujemnym niestety 99% nie pamięta w czasach gdy nauczyciele wymagali rozkładu na czynniki % źle rozwiązanych tego typu równań oscylował w granicach 5 − 15

Basia: o, znowu mi spacja "wlazła" gdzie nie trzeba; naprawdę naprawdę się pisze łącznie

Gustlik: Ja się nie złoszczę, tylko wiem z doświadczenia, że uczniowie nie lubia metod "dookoła świata", ja zresztą też za tymi metodami nie przepadam, bo zwyczajnie zajmuja sporo czasu, który mogę poswięcić na dalsze zadania, a więc spożytkować ten czas efektywniej. A rozwiązywanie układu równań jest w tym przypadku metodą "dookoła świata". Co do równań typu x²=2 tłukę uczniom, ze mają albo rozkładać na czynniki, albo pamiętać o ujemnym pierwiastku i wszystko w temacie. Co do ciągów omijanie układu równań nie ma jak dawać negatywnych efektów, ponieważ nie ma możliwości popełnienia błędu i zapomnienia o jednym z rozwiązań. Jeżeli ma wyjść równanie kwadratowe, to i tak ono wyjdzie. Niedawno rozwiązywałem takie zadanie z geometrii analitycznej: były dane współrzędne trzech wierzchołków równoległoboku: A, B i C i z tego trzeba było wyznaczyć współrzędne czwartego wierzchołka D, danych liczbowych nie pamiętam. Niestety w podręczniku nie było wprowadzonych wektorów i trzeba było to zrobić układając równania prostych. Metoda nietrudna, ale dość zawiła, bo nie dość, że trzeba było ułożyć równania prostych AB i BC oraz równoległych do nich, a potem rozwiązać układ równań, aby wyznaczyć punkt przecięcia. Pokazałem tę metodę, ale zaraz wprowadziłem wektory, bo to żadna filozofia, i rozwiązałem to zadanie wektorami, bo z wektorów to zadanie jest do rozwiązania piorunem. I co powiesz na ten temat? Bo ja nie rozumiem, dlaczego przy takim temacie nie wprowadzono wektorów, które znacznie ułatwiają rozwiązywanie tego typu zadań. Trafi się takie zadanie na sprawdzianie albo na maturze i uczeń nie znający wektorów będzie błądził opłotkami, żeby to wyliczyć, a czas będzie mu uciekał. A z wektorów zrobi to ze trzy razy szybciej. Dlatego ja jestem zwolennikiem metod prostych i obrazowych, bo im krótsza droga, tym szybciej się jedzie i mniejsze ryzyko zbłądzenia.

Basia: Przejrzyj posty. Przy każdym takim zadaniu najpierw pytam "a wektory znasz ?". Niestety coraz rzadziej dostaję odpowiedź pozytywną. Też wyleciały z programu? Rozwiązywanie tego typu zadań bez posługiwania się wektorami uważam za całkowicie zbędną "sztukę dla sztuki", na dodatek żmudną, nudną, czaso i pracochłonną, ale niby co można zrobić, jeżeli ma się pomóc komuś kto wektorów nie zna i musi się tymi męczącymi metodami posłużyć. To zresztą dotyczy wielu zagadnień z geometrii analitycznej. Jesteś chyba nauczycielem, to walcz o sensowny program. W końcu macie chyba coś do powiedzenia.

Gustlik: Nie chcę używać przekleństw, ale jak widzę, że takie proste rzeczy, jak wektory czy rozkład liczby na czynniki, NWD, NWW dano na rozszerzenie, to mi się nóz otwiera w kieszeni. Co jest trudnego w odjejmowaniu współrzędnych dwóch punktów? Co jest trudnego w dzieleniu liczb przez liczby pierwsze? Za "moich" czasów to się robiło w podstawówce. Tak w podstawówce, NWD i NWW miałem w V klasie, a wektory, funkcję liniową i podstawy trygonometrii w VI klasie, a w VII klasie była już funkcja kwadratowa. Co jest trudnego w schemacie Hornera, ze dali go na rozszerzenie? Szczerze mówiąc jest on łatwiejszy i bardziej zrozumiały dla uczniów, niż wzory skróconego mnożenia na trzecie potęgi, które są na podstawie. A prawdopodobienstwo? Cale życie podstawą prawdopodobieństwa była kombinatoryka, uczono, jak odróżnić permutacje od kombinacji, a kombinacje od wariacji. Drzewka były stosowane tylko do zadań z losowaniem dwu− i więcej etapowym typu: najpierw losujemy urnę, a potem kule z urny, bo tam są one rzeczywiście najlepszą metodą. A teraz stosuje się drzewa przy zadaniach z losowaniem trzech kart z talii i wychodzą krzaczyska na całą stronę A4, które trzeba rysować chyba z 15 minut. A kombinacjami takie zadanie rozwiązuje się w trzech linijkach i zajmuje chyba z pięć razy mniej czasu, niż drzewkami. Spotkałem się z zadaniem na 5−cio krotny rzut kostką w temacie "drzewka" − w podręczniku "Matematyka z plusem" dla klasy III LO. Pokazalem uczniowi, jak to zrobić kombinatoryką, bo drzewkiem to przy 5 rzutach chyba by mi wyszedł dąb Bartek i nie starczyłoby lekcji na jego narysowanie. Kto wymyśla takie chore zadania pokreconymi metodami? A zadania typu "jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej jednej jedynki" albo wylosowania :co najmniej jednej dziewczyny" robi się metodą analizowania wszystkich możliwych przypadków: jedna dziewczyna, dwie dziewczyny, trzy dziewczyny itp. i zajmuje to całą lekcję. A można to obejść licząc przwdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego A' czyli "nie wylosowano ani jednej dziewczyny", bo wtedy rozpatruje się jeden przypadek, a nie kilka i prawdopodobieństwo "właściwego" zdarzenia wyliczyć ze wzoru P(A)=1−P(A'). Nawet na drzewkach też można stosować dopełnienie − zaznaczyć gałąź odpowiadającą zdarzeniu przeciwnemu i potem P(A)=1−P(A'), zamiast obliczać kilka gałęzi.

Basia: Gustlik to niemożliwe ! Przecież to kretyństwo do n−tej albo i do nieskończonej potęgi. Tego nie mógł wymyślić żaden matematyk przy zdrowych zmysłach.

Basia: Dobranoc ! Niech Wam się nie przyśnią szaleni "matematycy" i ich "genialne" pomysły.

Gustlik: Basiu − masz może na myśli to zadanie z 5−krotnym rzutem kostką?

Basia: Też, ale i wszystkie pozostałe przykłady !

Gustlik: No niestety tak było i to w podręcznikach do matematyki.