Na rozgrzewkę Eta: wykaż,że jeżeli dla dowolnych a,b,c a+b+c= 0 to a³+b³+c³= 3abc

Eta:

Lucyna: a+b+c = 0 ⇒ a = −b−c (−b−c)³ +b³ +c³ = 3(−b−c)bc −b³−3b²c−3bc²−c³+b³+c³ = −3b²c−3bc² 0=0

Lucyna: lub 0 = (a+b+c)³ = a³+3a²b+3a^c+b³+3b²a+3b^c+c³+3c²a+3c²b+6abc = 3a²(a+b+c)−2a³+3b²(a+b+c)−2b³+3c²(a+b+c)−2c³+6abc=−2a³−2b³−2c³+6abc 0 = −2a³−2b³−2c³+6abc / : (−2) 0 = a³+b³+c³−3abc ⇒ a³+b³+c³ = 3abc cdn.

Eta: Ok Zadanie było przeznaczone dla młodzieży , a nie dla "zawodowców "

Lucyna: było zbyt kuszące aby sobie odpuścić zresztą maturę to ja zdałam w 2002r, więc nie liczę się jako zawodowiec

Godzio: a + b = − c a² − ab + b² = c² − 3ab (a+b)(a² − ab + b²) + c³ = 3abc −c(c²−3ab) + c³ = 3abc −c³ + 3abc + c³ = 3abc 0 = 0 Trochę inaczej i jednakowo na około

Eta: zatem

Lucyna: Godzio fajne to postaram się zapamiętać.

Godzio:

Eta: Godzio ...... No to teraz takie: wykaż ,że √3*ctg20^o −4cos20^o= 1

Eta: I podobne: wykaż ,że jeżeli a+b=1 to: a²+b² ≥ ¹₂

Lucyna: to ostatnie to jest proste, a=1−b a²+b²=(1−b)²+b² = 2b²−2b+1≥ ¹₂ To jest parabola, która ma współrzędne wierzchołka (¹₂ , ¹₂)

Eta: Można też tak: a= 1−b 2b² −2b +¹₂≥0 b²−b+¹₄ ≥0 ( b− ¹₂)² ≥0 c.b.d.o

Godzio: Nie mogę coś ugryźć tej trygonometrii , ale spokojnie

Eta: ok ....... czekam

Lucyna: a ja myślałam, że tylko mnie to jakoś nie idzie

Lucyna: 4x³−4x²−3x+1=0 wyjątkowo wredny wielomian do znalezienia pierwiastków, ale jego pierwiastki to rozwiązanie Twojej trygonometrii (przy czym x podstawiłam w miejsce sin20)

Lucyna: hmm podobno rozwiązanie można z wzorów Cardano wliczyć ale na to by mi nocy zabrakło chyba

Godzio: Dobra nie wpadne narazie, musze już iść , Dobranoc

Eta: Hehe ... poczekamy ....... może ktoś się " skusi"

Lucyna: Eta a Ty aby na pewno wszystko napisałaś tak jak miało być

Eta: Tak wszystko jest ok Poczekam do jutra ........ wieczorem podam swoją propozycję rozwiązania . Chyba ,że Gustlik ....... wcześniej " roztrzaska"

Lucyna: pora iść spać skoro wyszła mi sprzeczność, pewnie gdzieś coś namichtałam dobrej nocy wszystkim którzy jeszcze nie śpią

Eta: Miłych snów

Eta: To na dobranoc

	√3
L=ctg20*2*		−4cos20 = 2ctg20*sin60 −4cos20= 2ctg20( sin60 −2sin20)=
	2

= 2ctg20[( sin60 −sin20) −sin20]

	60+20		60−20
sin60−sin20= 2cos		*sin		= 2cos40*sin20
	2		2

L= 2 ^cos20_sin20 *sin20( 2cos40 − 1) = 2cos20( 2cos40 −1) L= 2*2cos20*cos40 − 2cos20 2cos20*cos40 = cos60 +cos20 L= 2( cos60+cos20) −2cos20 L= 2cos60 +2cos20 −2cos20 = 2cos60 = 2*¹₂= 1 L=P spokojnej nocy

Eta: Zastanawiam się ...... czy można to jeszcze jakoś prościej rozpisać ? Narazie nie wiem

Bogdan: To ja roztrzaskam w ten sposób:

	sin20o
√3ctg20o − 4cos20o = 1 /*
	2

√3		1
	cos20o − 2sin20o cos20o −		sin20o = 0
2		2

sin60^o cos20^o − sin20^o cos60^o = sin40^o sin(60^o − 20^o) = sin40^o co należało wykazać.

Eta: Hehe .... Witaj Bogdanie ......... właśnie na Ciebie liczyłam I rzeczywiście "roztrzaskane "

Bogdan:

Eta: No cóż? .... najwyraźniej pora odpocząć Dobranoc , miłych snów

Lucyna: też mi się w końcu udało, tylko zdecydowanie zajęło tyle miejsca, że nawet nie spróbuję tego przepisać, byłoby wstyd po po tak konkretnym rozwiązaniu przedstawionym przez Bogdana