haush: Prosta o równaniu 3x+4y=14 jest jedna z osi symetrii rombu, ktorego obwod ma dlugosc 20 √5, a jednym z wierzcholkow jest pkt A(-1,-2) a)Wyznacz wpolrzedne pozostalych wierzcholkow rombu b)Oblicz pole kwadratu wpisanego w ten romb

Basia: a - długość boku a=20√5/4=5√5 łatwo zauważyć, że podana prosta to prosta BD bo punkt A do niej nie należy 3(-1)+4(-2)=-3-8=-11#14 czyli szukamy na prostej BD punktów, których odległość od A wynosi 5√5 współrzędne punku oznaczamy przez x,y wówczas √(x+1)²+(y+2)²=5√5 3x+4y=14 i rozwiązujemy ten układ y=14/4-3/4*x (x+1)²+(14/4-3/4*x+2)²=25*5 (x+1)²+(7/2-3/4*x+2)²=125 (x+1)²+(11/2-3/4*x)²=125 x²+2x+1+121/4-33/4*x+9/16*x²=125 /*16 16x²+32x+16+484-132x+9x²=2000 25x²-100x+500-2000=0 25x²-100x-1500=0 /:25 x²-4x-60=0 Δ=16+240 Δ=256 p{Δ)=16 x₁=(4-16)/2=-6 y₁=7/2-3/4*(-6)=7/2+9/2=16/2=8 x₂=(4+16)/2=10 y₂=7/2-3/4*10=7/2-15/2=-8/2=-4 czyli B=(-6,8) D=(10,-4) punkt C można wyznaczyć korzystając z faktu, że wektor BC=wektorowi AD czyli [x+6;y-8]=[10+1;-4+2]=[11;-2] x+6=11 y-8=-2 x=5 y=6 C=(5;6)

Basia: teraz narysuj ten romb i jego przekatne; S - punkt przecięcia przekatnych narysuj kwadrat wpisany w ten romb tak aby jego boki były równoległe do przekatnych i oznacz do KLMN (K miedzy A i B) punkty przecięcia boków kwadratu z przekatnymi oznacz A₁,B₁,C₁,D₁ trójkąt ASD jest podobny do KB₁D stąd KB₁/AS=B₁D/DS KB₁ to połowa boku kewadratu czyli a/2 AS to połowa AC B₁D to DS-a/2 DS to połowa BD obliczamy AC=√(5+1)²+(6+2)²)=√36+64=p{100)=10 BD=√(10+6)²+(-4-8)²=√256+144=√400=20 i mamy (a/2)/5=(10-a/2)/10 /*10 a=10-a/2 3/2*a=10 a=20/3 P=400/9 o ile gdzieś się nie pomyliłam w rachunkach sprawdź!