ZADANIA DLA AMBITNYCH CZEKAM NA ODPOWIEDZI... Jolka: 1) Oblicz ósmy wyraz ciągu arytmetycznego (an). a) a₁=1 a₈−a₇=2 b) a₂=−10 a₅=−40 c) a₇+a₉=10 2) Lewa strona równania jest sumą kilku początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Oblicz x. a) 3+5+7+...+x=48 b) 8+6+4+..+x=−220 c) 2+7+12+..+x=156 d) −7−3+1+...+x=110 3) Oblicz sumę wszystkich liczb niepodzielnych przez 5, które są: a) dwucyfrowe b) trzycyfrowe 4) Oblicz sumę S₅ ciągu geometrycznego (a_n). a₁=−4 S₃= −12 5) Dla jakiej wartości x liczby: a, b, c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego? a) a=x−2 b= ^x+1₃ c= 5x b) a=−16 b=3x c=x² 6) Czy ciąg (b_n) jest ciągiem geometrycznym? Określ jego monotoniczność. a) b_n= 2⁻ⁿ b) b_n= 3*5ⁿ c) b_n= 7* (¹₃)ⁿ d) b_n= 2³ⁿ⁻¹ 7) Oblicz wyraz od czwartego do ósmego ciągu geometrycznego (a_n) a) a₁= 2 q=1 b) a₁=3 q=2 c) a₁=−2 q=−1 d) a₁=−4 q= ¹₂ e) a₂ = −25 a₃= 5 f) a₄ = 1 a₃*a₄= 3

Lucyna: to nie są zadania dla ambitnych... tylko zadania typu podstaw do wzoru. ad1 a) a8−a7=2=r ⇒ a8 = a1+7r=15 b)a5=a2+3r ⇒ −40 = −10 +3r ⇒ r = −10 ⇒ a8 = a5 + 3r = −70 c)jeśli a7+a9=10 to a8= a7+a92 = 5

Lucyna: z zadania drugiego zrobię np tylko b) resztę należy zrobić analogicznie. c)r=a₂−a₁ = 6−8=−2 x = a₁+ (n−1)r ⇒ 8−2n+2=10−2n S_n = ¹₂(8+x)n = −220 ⇒ ¹₂(8+10−2n)n = −220 ⇒ (18−2n)n +440 = 0 ⇒ n²−9n−220=0

	1		1
Δ = 81+880=961 √Δ = 31 n=		(9+31) = 20 lub n=		(9−31) = −11, ale −11 odpada bo n
	2		2

jest liczbą naturalną. Zatem suma 20 wyrazów ciągu jest równa −220.

Sylwia: 1) a) a₈= 1+ 7*2 = 15 b) 3r = −40 −(−10) 3r=−30 r=−10 a₈= a₅ + 3r a₈= −40 + (−30) = −70 c) 2) a) 3+5+7+...+x=48 r=2 Sn= ^a₁+x₂ *n x= a₁+(n−1)r 48=^3+x₂ *n x= 3+(n−1)*2 96=3n+nx x= 2n+1 96=3n+n(2n+1) 96=3n+2n²+n 2n²+4n−96=0 ; n>0 Δ=16+768 √Δ=28 n₁=⁻⁴⁻²⁸₄ ; n>0 n₂=⁻⁴⁺²⁸₄=6 x=13

Lucyna: ad3 b) liczby które dzielą się przez 5 to takie, które mają na końcu 5 lub 0, ponieważ jest ich mniej to należy policzyć sumę wszystkich liczb 3−cyfrowych i następnie odjąć sumę tych, które dzielą się przez 5. Wszystkich liczb 3−cyfrowych mamy: 9*10*10=900 lub inaczej 999−100+1=900 Liczb podzielnych przez 5 mamy 9*10*2=180 S₉₀₀ = ¹₂(100+999)900 = 494 550 teraz policzymy sumę ciągu arytmetycznego 100,105,110,..., 995 S₁₈₀ = ¹₂(100+995)180 = 98 550 S = S₉₀₀ − S₁₈₀ = 396 000

Lucyna: ad4 a₁ = −4 S₃ = −12 = a₁ + a₁q + a₁q² −12 = −4 −4q −4q² / : (−4) q² +q −2 = 0 Δ = 9 √Δ = 3 q₁ = ¹₂(−1+3) = 1, dla q = 1; S₅ = 5*(−4) = −20 q₂ = ¹₂(−1−3) = −2, dla q = −2; S₅ = −4+8−16+32−64=−44

Lucyna: ad5 x−2, ¹₃(x+1), 5x ¹₂(x−2+5x) = ¹₃(x+1) 3x−1 = ¹₃(x+1) / *3 9x−3 = x+1 8x = 4 / :8 x = ¹₂

Lucyna: ad6 Akurat sprawdzenie czy dany ciąg jest geometryczny pokrywa się z metodą na sprawdzanie monotoniczności. a) b_n = 2⁻ⁿ sprawdzam b_n+1:b_n = 2⁻ⁿ⁻¹:2⁻ⁿ=2⁻¹ ponieważ iloraz wyszedł nam niezależny od n, to jest to ciąg geometryczny, o q=¹₂ a ponieważ q∊(−1,1) to ciąg ten jest malejący. Resztę robi się podobnie.

Lucyna: ad7 d) a₁ = −4; q=¹₂ a₄ = −4q³ = −¹₂ a₅ = −¹₄ a₆ = −¹₈ a₇ = −¹₁₆ a₈ = −¹₃₂ e)a₂ = −25; a₃ = 5 ⇒ q = a₃:a₂ = −¹₅ a₄ = a₃*q = −1 a₅ = ¹₅ a₆ = −¹₂₅ a₇ = ¹₁₂₅ a₈ = −¹₆₂₅ f) a₄ = 1 oraz a₃*a₄ = 3 ⇒ a₃ = 3; q = a₄:a₃ = ¹₃ a₅ = ¹₃ a₆ = ¹₉ a₇ = ¹₂₇ a₈ = ¹₈₁

Gustlik: 1) Oblicz ósmy wyraz ciągu arytmetycznego (an). a) a₁=1 a₈−a₇=2 → r=2 a₈=a₁+7r=1+7*2=15 b) a2=−10 a5=−40 a₅−a₂=3r −40−(−10)=3r −30=3r /:3 r=−10 a₈=a₅+3r a₈=−40+3*(−10)=−40−30=−70 c) a7+a9=10 /:2

a7+a9
	=5
2

a₈=5

Gustlik: Zad 2) przykład a) 3+5+7+...+x=48 a₁=3, r=2 x=a_n=3+(n−1)*2=3+2n−2=2n+1

	a1+an		3+2n+1		2n+4
Sn=		*n=		*n=		*n=(n+2)*n=n2+2n
	2		2		2

n²+2n=48 n²+2n−48=0 Δ=4−4*1*(−48)=4+192=196 √Δ=14

	−2−14		−16
n1=		=		=−8 → odpada, bo n€N+
	2		2

	−2+14		12
n2=		=		=6
	2		2

x=2n+1=2*6+1=13 Przykłady b), c) i d) robimy analogicznie.

Gustlik: 3) Oblicz sumę wszystkich liczb niepodzielnych przez 5, które są: a) dwucyfrowe b) trzycyfrowe Wskazówka do a) Trzeba wyznaczyć ciąg wszystkich liczb dwucyfrowych a_n i jego sumę S_an, oraz ciąg b_n liczb dwucyfrowych podzielnych przez 5 i wyznaczyć jego sumę S_bn, szukana suma=S_an−S{bn} Wskazówka do b) analogicznie, tylko ciąg a_n bedzie ciągiem wszystkich liczb trzycyfrowych, a ciąg b_n − ciagiem liczb trzycyfrowych podzielnych przez 5.

Gustlik: 4) Oblicz sumę S5 ciągu geometrycznego (an). a1=−4 S₃= −12

	1−qn
Sn=a1
	1−q

	1−q3
−12=−4		/*(1−q)
	1−q

−12(1−q)=−4(1−q³) /:(−4) 3(1−q)=1−q³ 1−q³−3(1−q)=0 (1−q)(1+q+q²)−3(1−q)=0 (1−q)(1+q+q²−3)=0 (1−q)(q²+q−2)=0 q=1 → odpada, bo wychodzi 0 w mianowniku S_n lub Δ=1−4*1*(−2)=1+8=9 √Δ=3

	−1−3
q1=		=−2
	2

	−1+3
q2=		=1 → odpada, bo wychodzi 0 w mianowniku Sn
	2

Mamy ciąg a₁=−4 i q=−2

	1−(−2)5		1+32		33
S5=−4		=−4		=−4		=−4*11=−44
	1−(−2)		1+2		3

Gustlik: 5) Dla jakiej wartości x liczby: a, b, c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego? a) a=x−2 b= x+13 c= 5x b) a=−16 b=3x c=x2 Wskazówka:

	a+c
b=		→ podstaw do tego wzoru i rozwiąż tak otrzymane równania.
	2

Gustlik: 6) Czy ciąg (bn) jest ciągiem geometrycznym? Określ jego monotoniczność. a) b_n= 2−n b) b_n= 3*5n c) b_n= 7* (13)n d) b_n= 23n−1 Wskazówka: oblicz b_n+1 podstawiając (n+1) za n do wzoru ciągu, następnie oblicz iloraz q=b_n+1/B_n → ma wyjść niezależny od n, czyli liczba, np. q=2, q=1/2. q=√3, q=−5 itp. Jeżeli wyjdzie np. q=2n+3 to wtedy ciąg nie jest geometryczny, bo q zależy od n.

Gustlik: 7) Oblicz wyraz od czwartego do ósmego ciągu geometrycznego (an) b) a1=3 q=2 a₄=a₁*q³=3*2³=3*8=24 a₅=a₄*q=24*2=48 a₆=48*2=96 a₇=96*2=192 a₈=192*2=384 a) c) i d) analogicznie. e) a2 = −25 a3= 5

a3
	=q
a2

	5		1
q=		=−
	−25		5

	1
a4=a3*q=5*(−		)=−1
	5

	1		1
a5=a4*q=−1*(−		)=
	5		5

a₆=a₅*q a₇=a₆*q a₈=a₇*q f) a4 = 1 a3*a4= 3 a₃*1=3 a₃=3

a4
	=q
a3

	1
q=
	3

a₄=1

	1		1
a5=a4*q=1*		=
	3		3

a₆=a₅*q itd...

Gustlik: Jeszcze jedna wskazówka do zad. 6. Monotoniczność ciągu: liczymy róznice r=b_n+1−b_n. Jeżeli r>0 → ciąg rosnący. Jeżeli r<0 → ciąg malejacy.

basetla: które kwoty do 10 000 nie dzielą się przez 13?

basetla:

anmario: Dzielą się przez tą trzynastkę 13, 26, 39, 52, ..., 13n gdzie n<770 i n∊N, inne przez nią się nie dzielą; mam na myśli kwoty wyrażone w pełnych liczbach, czyli, dla przykładu, jeżeli mamy na myśli polską walutę to same kwoty okrągłe, bez uwzględnienia, że 13 zł i 13 groszy to też kwota przecież. Na Twoim miejscu, jeżeli treść zadania przytoczona jest precyzyjnie też groszy bym nie brał pod uwagę bo nigdzie jasno nie napisano, że mowa o walucie polskiej

think: basetla te, które są wielokrotnością 13 13, 26, 39,...,9984, 9997.

Krzysiek: Mają być te, co się NIE dzielą... 1,2,3,4,... Dziwne trochę to zadanie

think: to był wariant optymistyczny wariant pesymistyczny to jaki który się zaczyna od 0,13; 0,26; 0,39; ...; 9999,86; 9999,99 ale to mocno naciągane, bo zdaje się nie wszędzie jest tak drobny bilon jak u nas, że występują 1, 2, 5 groszy tylko najmniejszy to np 5 ale mogę się mylić...

think: Racja Krzysiek, czyli chodzi o wszystkie pozostałe kwoty poza tymi które wypisałam

lofciamLucynke: Lewa strona równania jest sumą kilku początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Oblicz x. a) 3+5+7+...+x=48 b) 8+6+4+..+x=−220 c) 2+7+12+..+x=156 d) −7−3+1+...+x=110

malik: Oblicz sume n poczatkowych wyrazow ciagu geometrycznego a2=2, a5=16 i S8

huj cie to: jak się to oblicza W=5a + n /3

huj cie to: trzeba wyznaczyć a

5-latek: Tak nawiasem mowiac −ciebie tez .

	n
W=5a+		*(3) to 3W=15a+n to 3W−n=15a teraz juz wyznacz a
	3

czarna: oblicz a10 i b8 bardzo pilne an=8−n/4 , bn=(−1)u gory n+1 razy u gory n−1 przez 2