MATURA 2010 xyz: TREŚCI ZADAŃ Z MATURY ROZSZERZONEJ 2010 KTÓRE PAMIĘTAMY ZAKŁADAM WĄTEK, JAKO ŻE OBAWIAM SIĘ, ŻE POJEDYNCZE ZGINĄ W TŁUMIE BEZ ODPOWIEDZI... A TO CHYBA FAJNE MÓC SPRAWDZIĆ SAMEGO SIEBIE. 1. Wierzchołek A trójkąta równoramiennego ma współrzędne A=(−2,5) pozostałe wierzchołki leżą na prostej y=x+1, wiedząc, że AC=BC i pole trójkąta wynosi 15 oblicz współrzędne wie

next: Zad 1 |2x+4| + |x −1| ≤ 9 Dobrze pamiętam?

Svanar: nie lepiej poszukac w necie ?

mmm: tutaj jest arkusz: http://www.oke.poznan.pl/files/cms/128/matematyka_pr.pdf więc może w tym wątku zamieszczajmy odpowiedzi i rozwiązania do zadań

xyz: nie Svanar, chcę dać szansę forumowiczom, żeby mogli sobie poćwiczyć oraz podyskutować na ten temat z innymi, którzy dziś pisali. Nie zmuszam Cię do odpowiedzi. Pozdrawiam

next: W takim razie poprawka Zad 1 Rozwiąz nierównośc |2x+4| + |x −1| ≤ 6

next: Zad 2. Wyznacz wszystkie rozwiązania równania 2cos² x − 5sin x − 4 = 0 należące do przedziału <0, 2π> .

tyc: jak robiliście 7

xyz: |2x+4| + |x −1| ≤ 6 1. x∊(−∞,−2) −2x−4−x+1−6≤0 −3x−9≤0 x≥−3 razem: x∊<−3,−2) 2. x∊<−2,1) 2x+4−x+1−6≤0 x≤1 razem: x∊<−2,1) 3. x∊<1,∞) razem: x=1 odpowiedzią jest suma przedziałów z trzech przypadków czyli: x∊<−3,1> jeśli się nie machnęłam, bo trochę w głowie, a już dziś mózg wysiliłam

xyz: zad 2. 2(1−sin²x)−5snix−4=0

	1		11		7
po wyliczeniu z f. kwadratowej wychodzi sinx=−		czyli x=		π v x=		π
	2		6		6

jesli dobrze pamiętam

next: xyz Mi tak samo wyszlo a swoją drogą ciekawy jestem tego zadania: Zadanie 3. (4 pkt) Bok kwadratu ABCD ma długość 1. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F umieszczone tak, by |CE |= 2 DF . Oblicz wartość x = | DF | , dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze.

	1
Mi wyszło ze x =		móglby sie ktoś podzielić swoją odpowiedzią?
	4

kalafiorowa:

	1
moim znajomym tez wychodzilo		ale ja nie wiem jak do tego dzoszli
	4

Svanar:

1
	tez
4

next: kalafiorowa ja obliczyłem to z tego faktu że pole tego Δ wewnątrz było najmniejsze kiedy suma pól tych czterech na zewnatrz była największa. jak wiadomo wszystkie 4 były Δ prostokątnymi więc dalej łatwizna

Svanar: chyba 3

next: ej dobra 3 zapędziłem się ale to nie zmienia faktu

Svanar: tez tak robilem bo boki tego w srodku to byly √taaaaaaaaaaaakie pierwiastki

next: tak zacząłem z tymi pierwiastkami ale jak zobaczyłem te działania od razy było wiadomo że nie o ten sposób chodzi

Svanar: nom.... ale ogolnie to trudna jednak byla

next: początkowe zadania jeszcze do ogarnięcia, pożniej coraz gorzej, jak już zaczynamy to powiedzcie jak Wam wyszło w tym Zadanie 6. (5 pkt) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x² + mx + 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od 2m² −13 . mi wyszedł przedział (−3, −2√2) U (2√2, 3 ) tylko nie wiem czy dobrze klamerki zapamiętałem

xyz: no to robimy pełne rozw zad 3. i przejdziemy do następnego, żeby każdy mógł sobie orientacyjne spraedzić kto się podejmuje napisać zad 3?

eee: next zad nr 6 mam tak samo mógłby ktoś dać pełne rozw zad nr 3?

kalafiorowa: zadanie 6 tez mam tak samo

Svanar: Pole trójkata AEF jest najmniejsze wtedy kiedy P₁ + P₂ + P₃ jest najwieksze

	1		x
P1 =		* 1 * x =
	2		2

	1		1−2x
P2 =		* (1−2x) =
	2		2

	1
P3 =		* 2x * (1−x) = x−x2
	2

	x		1−2x		−2x2 + x + 1
P1+P2+P3 =		+		+ x−x2 =
	2		2		2

a=−1

	1
b=
	2

	b		1   2		1
p= −		=		=
	2a		−2		4

next: Mogę dać rysunek i treśc nie chce mi sie na razie więcej Zadanie 3. (4 pkt) Bok kwadratu ABCD ma długość 1. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F umieszczone tak, by |CE |= 2 DF . Oblicz wartość x = | DF | , dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze. Jak mówiłem żeby pole tego Δ wewnątrz było najmniejsze suma pól tych czterech na zewnatrz musi być największa

Basia: @xyz napiszę, ale za jakąś godzinkę połówka głodna, ja zresztą też

suseł: P_ΔAEF = P( kwadratu) − ( sumy pól trójkątów prostokątnych)

	1−2x
P(ABE) =		= 12− x
	2

	2x*(1−x)
P(ECF)=		= x( 1−x)
	2

	x
P(AFD)=		= 12x
	2

założenie : x€(0, ¹₂) P(x) = 1 − ¹₂+x −x +x² −¹₂x = x² −¹₂x +¹₂ P(x) −−− funkcja kwadratowa , ramiona paraboli do góry , więc osiąga minimum

	−b		12		1
dla x=		=		=		spełnia założenie
	2a		2		4

odp: dla x =IDFI= ¹₄ pole trójkąta AEF jest najmniejsze.

xyz: ja zrobiłam tak: zad 3.

	1		1		1		1
PAEF=1−		(1−2x)−x(1−x)−		x=		−		x+x2
	2		2		2		2

	−b		1
P min gdy x=		=
	2a		4

to co idziemy do zadania 4?

mat: mam takie nurtujące mnie pytanko: bo napisałem w pierwszym zadaniu rozwiązanie takie: x∊<−3,−2) znaczek sumy "n" <−2,1> a to jest przecież to samo co x∊<−3,1> uznają mi to?

Basia: P_AEF=P_kwadratu−P_ADF−P{ECF}−P{ABE} P=1*1−¹₂[x*1+(1−x)*2x+1*(1−2x)] P(x) = 1 − ¹₂*[x+2x−2x²+1−2x]= 1+x²−¹₂x−¹₂ = x² − ¹₂x+¹₂ dalej już chyba nie trzeba pisać

next: Zad 4 wydaje się banalnie proste i chyba takie jest: Zadanie 4. (4 pkt) Wyznacz wartości a i b współczynników wielomianu W (x) = x3 + ax2 + bx +1 wiedząc, że W (2) = 7 oraz, że reszta z dzielenia W (x) przez (x − 3) jest równa 10. W(2) = 7 W(3) = 10 i po kłopocie

Svanar: 4 to banal: W(4) = 7 W(3) = 10 podstawic i wyliczyc

suseł: no w/g mnie tak

xyz: zad4. W(2)=7 W(3)=10 rozwiązałam taki układ i mi wyszło

maturzysta: zadanie 7 mnie bardzo interesuje. Rozwiąże ktoś

suseł: zad. 4) a= −5 b= 9

xyz: zad 5. trochę się nad tym poplątałam ale coś wyszło jak się nie mylę to dwie opcje

next: Zadanie 5. (5 pkt) O liczbach a, b, c wiemy, że ciąg (a, b, c) jest arytmetyczny i a + c =10 , zaś ciąg (a +1, b + 4, c +19) jest geometryczny. Wyznacz te liczby. Powstają 3 układy: a + c = 10 a + c = 2b − z wł. ciągu aryt. (b+4)² = (a+1)(c+19) − z wł. ciągu geom. Z pierwszych dwóch od razu można wyliczyć że 2b=10 czyli b = 5

xyz: mnie też 7 najbardziej interesuje, ale czekam cierpliwie

mat: a ja zrobiłem zad 4 tabelką Hornera hehe czapki z głów dla tych którzy zrobili ostatnie z ostrosłupem

mat: w zad 7 chyba mialo wyjść (5,6) lub (−3,−2) ale nie jestem w 100% pewnien, obliczenia mi zajęły całe 2 strony, mogłem się gdzieś walnąć...

maturzysta: zad 7 znalazłem odpowiedz w necie ale mi się nie zgadza odp z nata C(3,5 : 4,5) lub C( −1,5 : −0,5) mi wyszło C( 5, 6) lub C( −3, −2) co wy na to

maturzysta: ostatnie było kozackie prawie dokończyłem zabrakło mi czasu, więc zabiorą mi 1 moze 2 punkty

Nazcain: mat to zadanie z ostroslupem banalne było https://matematykaszkolna.pl/strona/992.html ja nie zrobiłem 7 i 2 zapomniałem jak to kurcze zaczac z ta trygonometri

Godzio: Może mi ktoś sprawdzić ostatnie:

	a3*√3 + tg2α
V =
	24tgα

xyz: maturzysto: jak chodzi o zad 7, to mi wyszło tak jak Tobie, a mojemu facetowi, tak jak podałeś w odpowiedziach, tzn. te niecałkowite liczby. Ja liczyłam z pola z geometrii analitycznej, on

	1
pole z normalnego wzoru		ah i kto sie wypowie?
	2

xyz: Godziu, a jak Ty zrobiłeś zad 7? co Ci wyszło? weźmie je ktoś zrobi?

maturzysta: ja liczyłem z wzoru na pole trójkąta. Można było policzyć jego wysokośc bez problemu. a bok BC=AC był, podstawą

maturzysta: a prawdopodobieństwo jakie wam wyszło mi 1/4

mat: ja też pole liczyłem ze wzoru 1/2ah i mi wyszło tak jak wam.

mat: mi P(A) też 1/4 ale źle nam wyszło bo miało być 1/3

xyz: maturzysto, daj proszę link do tego zad 7, które znalazłeś w necie, szukamy tam błędu ?

mat: strona CKE padła, miała pewnie dziś więcej odwiedzin niż n−k

xyz: a to znalazłeś to rzowiązanie zadania 7 na stronie CKE czy co?

maturzysta: jest narazie tylko odp , nie ma rozwiazań

maturzysta: skad wiesz że powinno wyjść 1/3 daj link

maturzysta: ?

mat: nie na CKE ale mnie zdziwiło że padła, zad 10 Kluczowa jest w tym zadaniu obserwacja, że kwadrat liczby całkowitej n może dawać tylko resztę 1 lub 0 przy dzieleniu przez 3. Rzeczywiście, jeżeli n = 3k to liczba n² dzieli się przez 3, jeżeli n = 3k+ 1 to n² = (3k + 1)² = 9k² + 6k + 1 = 3(3k² + 2k)+ 1, więc liczba ta daje resztę 1 z dzielenia przez 3. Podobnie, jeżeli n = 3k + 2 to n² = (3k + 2 )² = 9k² + 12k + 4 = 3(3k² + 4k + 1) + 1, zatem znowu mamy liczbę, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1. Powyższa obserwacja oznacza, że suma kwadratów trzech liczb całkowitych dzieli się przez 3 (daje resztę 0) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie 3 dzielą się przez 3 (czyli dają resztę 0), lub gdy wszystkie 3 nie dzielą się przez 3. Tak jest, bo jedyne sumy trzech 0 i 1−ek, które dają liczbę podzielną przez 3 to 0 + 0 + 0 = 0 1 + 1 + 1 = 3. Możemy teraz policzyć prawdopodobieństwo. O zdarzeniach elementarnych myślimy jak o trójkach otrzymanych oczek, czyli |Ω | = 6³. Zdarzenia sprzyjające to takie, że wszystkie trzy liczby dzielą się przez 3, czyli należą do zbioru {3,6} lub, że wszystkie 3 nie dzielą się przez 3, czyli należą do zbioru {1,2,4,5} . Jest więc 2 ⋅2 ⋅2 + 4 ⋅4⋅4 = 8+ 64 = 72 zdarzeń sprzyjających. Prawdopodobieństwo wynosi 72/6³ = 6 = 1/3.

mat: dodam tylko że to rozwiązanie nie jest mojego autorstwa

mat: a prawidłowy wynik w zad 11 to: V = a³cosα / 12√4sin²α−1 nie pytajcie o rozwiązanie bo sie przerazicie...

xyz: wracamy do chronologii zad 6 kto się podejmuje?

Godzio: ja moge

Godzio: x² + mx + 2 = 0 zał. Δ > 0 (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ > 2m² − 13 Δ = m² − 8 > 0 m² > 8 m > 2√2 v m < − 2√2 m∊(−∞,−2√2)∪(2√2,∞) (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ > 2m² − 13 m² − 4 > 2m² − 13 m² < 9 m < 3 i m > − 3 m∊(−3,3) łącząc oba przedziały : Odp: m∊(−3,−2√2) ∪ (2√2,3)

Julek: Zadanie 8

	1
Trzeba zauważyć, że funkcja f(x) =
	x2

	1		1
jest funkcją parzystą, czyli A = (x ;		), B = (−x ;		)
	x2		x2

	1				1
P =		|(−x − x)(		) *(−1 −		) − 0| =
	2				x2

	1		x2 + 1		1		2x2 + 2
=		| −2x (−		)| =		| (		) |
	2		x2		2		x

1		2x2 + 2
	| (		) | ≥ 2 / *2
2		x

	2x2 + 2
|		| ≥ 4 / 2
	x

(2x2 + 2)2
	≥ 16 / *x2
x2

4x⁴ + 8x² + 4 − 16x² ≥ 0 4x⁴ − 8x² + 4 ≥ 0 (2x² − 2)² ≥ 0 Liczba podniesiona do kwadratu, może przyjąć wartość większą lub równą zero. Wykazane.

mat: zad 6 prosze bardzo oto czyjeś rozwiązanie: Sprawdźmy kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki x₁, x₂ . 0 < Δ = m² −8= (m−2√2)(m+2√2) m∊(−∞,−2√2)u(2√2,+∞) Korzystamy teraz ze wzorów Viète’a x₁ + x₂ = −m x₁x₂ = 2 Pozostało rozwiązać nierówność x₁² + x₂² > 2m − 13 (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ > 2m²2 − 13 m² − 4 > 2m − 13 0 > m² − 9 0 > (m − 3)(m + 3) m ∈ (− 3,3 ). Odpowiedź: m ∈ (− 3,− 2√2) ∪ (2√2,3)

mat: ciekawe ile punktów ujmą za to że nie wyrzuciłem z przedziału (−3,3) przedziałum∊(−∞,−2√2)u(2√2,+∞) jak myślicie?

Julek: Zadanie 9 Zrobiłem super rysunek, aż byłem z siebie dumny, ale kliknąłem na "wyczyść" Ogólnie to trzeba zauważyć, że |CB| = |CG| |AB| = |FC| więc trójkąty były by przystające, gdyby |∠FCG| = |∠ABC| wiemy, że |∠BCD| = 180^o − |∠ABC| Można stwierdzić, że |∠BCD| + |∠BCG| + |∠FCD| + |∠FCG| = 360^o Z tego, że EFDC i BHGC to kwadraty to : |∠BCD| + |∠FCG| + 180^o = 360^o |∠BCD| + |∠FCG| = 180^o 180^o − |∠ABC| + |∠FCG| = 180^o |∠FCG| = |∠ABC| Trójkąty te są przystające, |AC| = |FG|

maturzysta: a zad 7

Basia: zadanie 11 było na forum jakieś dwa tygodnie temu, jest mniej więcej rozwiązane poszukajcie

Konchitto: Czy jakiś ekspert rozszerzony może wypowiedzieć się w tym temacie z matury? https://matematykaszkolna.pl/forum/51375.html

Jack: ostatni krok jest wątpliwy. Suseł wykazał związek między postacią "(a−1)(a−1)(a+1) > 0", a tym, że "cały iloczyn jest >0". Nie dopisałeś spostrzeżenia, że a>0 (zapisałeś, że " x (...) zawiera sie w przedziale a>0", co może nie zostać zinterpretowane na Twoją korzyść).

Godzio: Zadanie 11

	1		a√3
x =		*
	3		2

	1   a 2
tgα =
	h

	1   a 2
h =
	tgα

x² + H² = h²

a2 * 3		1   a2 4
	+ H2 =
36		tg2α

	3a2		a2*tg2α
H2 =		−
	12tg2α		12tg2α

	a2(3 − tg2α)		a√3−tg2α
H = √		=
	2√3tgα		2√3tgα

	a2√3
Pp =
	4

	1		a√3−tg2α		a2√3		a3√3−tg2α
V =		*		*		=
	3		2√3tgα		4		24tgα

Nie widzę żadnego błędu więc chyba w porządku PS. Julek 100% ?

suseł: | <ABC| = |<GCF| = 180^o − α i z tw. cosinusow: zarówno w Δ ABC jak i w Δ GCF x² = a²+b² −2ab*cos(180^o− α) = a² +b² +2ab*cosα zatem: IACI = IFGI c.n.u

Julek: Niestety, ale nie Przez całe liceum uczyłem się sam, a pod koniec klasy trzeciej wziąłem sobie korki ze stereometrii i prawdopodobieństwa (tego nie umiałem). Akurat tych dwóch zadań z tych dwóch działów nie zrobiłem (przynajmniej do końca)

Julek: może za rok poprawię... nie wiem

Jack: przyczepiłbym się do oznaczeń: nazwałeś dwa razy przez "x" odcinki, o których miałeś dowieść że są równe... Poza tym faktycznie proste zadanie jak się zrobiło przejrzysty rysunek.

suseł: No dobrze: oznaczamY IACI = a²+b² +2ab*cos α i IFGI= a²+b²+2ab *cosα IACI = IFGI = x ...... pasuje

Jack: pasuje Ta uwaga nie umniejsza Twoich zdolności w żadnym stopniu .

suseł:

Basia: Witaj susełku ! A po co Ci tw.cosinusów, skoro już na rysunku pokazałaś, że tr.GCF i tr.CBA są przystające ? Ładnie opisać i "po ptokach"

Basia: @Godzio kąt, który zaznaczyłeś nie jest kątem między sąsiednimi ścianami bocznymi kąt między wysokościami ścian bocznych to nie to samo co kąt między ścianami w tym tkwi błąd szukaj w definicji kąta dwuściennego

Basia: to jest kąt dwuścienny tworzą go proste prostopadłe do krawędzi przecięcia płaszczyzn poprowadzone oczywiście przez ten sam punkt i leżące w interesujących nas płaszczyznach

Godzio: W takim razie przepraszam za błąd, Czy to o ten kąt chodzi ?

Godzio: Jednak nie trochę ciężko go sobie wyobrazić, ale już rozumiem Dziękuje

suseł: Basiu ....to dla pewności "wszelakiej" , mniej opisywania Zerknij na moje rozwiązanie zda. 7

Basia: Ciężko, nie da się ukryć, szczególnie na rysunku. W trzech wymiarach to całkiem nieźle widać.

Neti: Dla mnie jesteście hardcorowi że potraficie robić takie zadania. No ja jestem dopiero w II klasie i jeszcze się waham czy zdawać podstawę czy rozszerzenie Dla mnie osobiście zadania 1, 2, 3, 4, 6 nie są trudne a reszty jeszcze nie patrzyłam

Patrycja: Ja powrócę jeszcze do zadania 2 Czy wynik to nie powinien być sinx=¹₂

Bogdan: Zad. 2. 2cos^x − 5sinx − 4 = 0 ⇒ 2(1 − sin²x) − 5sinx − 4 = 0 ⇒ 2 − 2sin²x − 5sinx − 4 = 0 2sin²x + 5sinx + 2 = 0 i sinx ∊ <−1, 1> i x ∊ <0, 2π> Δ = 9

	−5 − 3
sinx =		= −2 sprzeczność
	4

lub

	−5 + 3		1		π		π
sinx =		= −		⇒ sinx = −sin		⇒ sinx = sin(−		)
	4		2		6		6

Bogdan: Poprawiam początkowy zapis: 2cos²x − 5sinx − 4 = 0

Patrycja: No dobra mi wyszła ¹₂ , bo nie pomnożyłam przez −1, ale gdy sinx=¹₂ to x1= −^π₆, a x2=⁷₆π