Ciągi liczbowe - nie kumam Zbyszek: Liczby 5,2,−1,−4,−7 są początkowymi wyrazami ciągu. Podaj wzór na wyraz ogólny tego ciągu.Określ czy to ciąg arytmetyczny czy geometryczny (wraz z uzasadnieniem). Określ monotoniczność tego ciągu.

Lucyna: musisz sprawdzić czy a3−a2=a2−a1 jeśli tak to jest to ciąg arytmetyczny jeśli a3a2=a2a1 to jest to ciąg geometryczny. wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego an=a1+(n−1)r; i r=a2−a1 wzór na ogólny wyraz ciągu geometrycznego bn=b1*qn−1

Lucyna: ciąg geometryczny jeśli b₃/b₂=b₂/b₁

Zbyszek: Jeśli można to dokładniej opisać jak zrobić, proszę bo dalej nie kumam

Łukasz: na prosto: ciag arytmetyczny taki, ktory ehmm sie sumuje o ta sama liczbe. np. 2,4,6,8, czy też 0,10,20,30 geometryczny to jest z iloczynem (mnozenie). np pierwszy wyraz to 2, drugi to 1, trzeci to 1/2, dlatego, że q (iloczyn) = 1/2. moze jestem kiepski w tlumaczeniu ale skoro nie zrozumiales ich wyutlumaczen to moze takie proste ci dadza choc troche ; d

Lucyna: Łukasz ma rację ciąg arytmetyczny to taki w którym każdy kolejny wyraz jest zwiększa się lub zmiejsza o tyle samo np 1,2,3,4,5,... każdy kolejny wyraz jest większy o 1 i 1 jest nazywane różnicą ciągu arytmetycznego r=1, teraz dla ciągu 4,2,0.−2,... to też jest ciąg arytmetyczny, ale r= −2. bo mamy malejący ciąg.

Lucyna: w ciągu geometrycznym mamy mnożenie przez stałą liczbę np: 2,4,8,16,32,... to rosnący ciąg geometryczny o ilorazie q=2 bo jak podzielisz sobie kolejny wyraz przez poprzedni to zawsze otrzymasz dwa.

Zbyszek: Już powoli rozumiem ale za mało żeby rozwiązać zadanie jak podstawiać do wzorów i czy tworzyć ciąg każdej z osobna liczby np. 5,10,15. czy −7,−14,−21,

suseł: 5, 2,−1,−4,−7,....... 2−5= −3 −1−2= −3 −4−(−1)= −4+1= −3 ciąg arytmetyczny r= −3 a₁=5 r<0 −−− ciąg malejący a_n= a₁+(n−1)*r podstawiając za a₁= 5 i r= −3 ogólny wzór tego ciągu : a_n= −3n +8

Zbyszek: ogólny wzór tego ciągu : an= −3n +8 z czego on powstał w jaki sposób do niego się dochodzi coś na temat czy ten ciąg jest geometryczny

Lucyna: 5,2,−1,−4,−7 masz taki ciąg liczb, aby przejść od pierwszego wyrazu do drugiego musisz dodać −3, aby od drugiego wyrazu dojść do trzeciego znowu musisz dodać −3 itd, ciąg w którym dodajesz stałą liczbę to jest ciąg arytmetyczny.

Lucyna: teraz różnica tego ciągu jest r=a_n+1−a_n czyli odejmij od następnego wyrazu wyraz poprzedni ciągu u Ciebie r=2−5=−3 pytanie czy ciąg jest rosnący czy malejący, musisz popatrzyć na liczby w kolejności w jakiej są one zapisane 5,2,−1,−4,.. czy każda następna liczba jest większa czy mniejsza od poprzedniej, u Ciebie każda kolejna jest mniejsza od poprzedniej, więc Twój ciąg jest malejący wzór na wyraz ogólny ciągu to a_n= a₁ +(n−1)r; a_n to n−ty wyraz ciągu, a₁ to jest pierwszy wyraz ciągu u Ciebie a₁=5 a r obliczony masz wyżej. Zatem a_n= 5 +(n−1)*(−3) = 5−3n+3=−3n+8 Teraz znając wzór na ogólny wyraz ciągu możesz bezpośrednio z niego obliczyć np 50 wyraz ciągu a₅0= −3*50+8=−150+8=−142

Zbyszek: To ten ciąg jest tylko arytmetyczny a geometryczny nie

Lucyna: chyba jest tylko jeden ciąg który może być arytmetyczny i geometryczny jednocześnie, jest to ciąg stały, ale jeśli ciąg ma różne wyrazy to jest albo geometryczny albo arytmetyczny nie może być oboma jednocześnie.

Lucyna: aby był geometryczny to musisz pomnożyć pierwszy wyraz razy q aby otrzymać drugi wyraz, następnie grugi wyraz mnożysz przez to samo q aby otrzymać 3 wyraz ciągu. Masz 5,2,−1 5*²₅=2 więc trzeci wyraz powinien być równy 2*²₅=⁴₅ a Twój trzeci wyraz to −1 zatem to nie może być ciąg geometryczny

Lucyna: masz jeszcze jakieś pytania, bo jak nie to idę spać

Zbyszek: DZIĘKUJE ZA POMOC

Lucyna: proszę bardzo, mam nadzieję, że teraz już ciągi tak Cię nie przerażają, to jest na prawdę fajny temat. Zatem powodzenia i dobranoc.