Funkcja kwadratowa. Keisim: Zadanko: Funkcja kwadratowa Dane jest równanie x² + bx + c z niewiadomą x. Wyznacz wartości b i c tak, by były one rozwiąza− niami danego równania. Zadanie wydaje się być łatwe, jednak mam jedno pytanie. Wiadomo, że Δ = b² + 4ac, gdzie a=1, czyli Δ = b² + 4c. √Δ = √b² + 4c i tu zaczyna się problem... Wiemy również, że:

	− b + √Δ
X1 =		, gdzie a=1
	2a

	− b − √Δ
X2 =		, gdzie również a=1
	2a

Czy powinniśmy rozpatrzyć 2 przypadki, gdzie X₁ = b, x₂ = c i odwrotnie? To chyba najrozsądniejsze co można zrobić... jak uważacie?

Amaz: Tu trzeba skorzystać ze wzorów vieta, wiemy, że x₁+x₂=−b, bo a=1 Oraz x₁x₂=c Niech x₁=c, x₂=b lub na odwrót, to nie ma znaczenia, wtedy: c+b=−b i c*b=c ⇒ b=1, no a jeśli b=1, to c+1=−1 ⇒ c=−2

wilga: Proponuję takie rozwiązanie: Δ≥0 z wzorów Viete^'a x₁+x₂= −b x₁*x₂= c x₁= b x₂= c to: b+c= −b => 2b= −c i b*c= c => c( b−1)=0 => c= 0 v b= 1 to: 2b= 0 lub 2*1= −c b=0 lub c= −2 zatem dla b=0 i c=0 pierwiastkami są x²=0 => x₁=0 v x₂=0 .. ok dla b= 1 i c= −2 mamy: x²+x −2=0 Δ= 9 √Δ=3 x₁ = 1 v x₂= − 2 .. ok odp: warunek zad. jest spełniony dla: b=0 i c=0 lub b= 1 i c= −2

Keisim: Rozumiem, nie pomyślałem w tym wypadku o wzorach Vietea, dziękuję za podpowiedź.

Gustlik: Z treści zadania wynika, że: x₁=b x₂=c zatem f(x)=x² + bx + c wiadomo, że f(x₁)=0 i f(x₂)=0 − z definicji miejsca zerowego funkcji/ f(b)=b²+b*b+c=b²+b²+c=2b²+c f(c)=c²+bc+c Rozwiązujemy układ równac: { 2b²+c=0 → c=−2b² { c²+bc+c=0 (−2b²)²+b*(−2b²)−2b²=0 4b⁴−2b³−2b²=0 b²(4b²−2b−2)=0 /:4 b²(2b²−b−1)=0 b=0 lub Δ=b²−4ac=(−1)²−4*2*(−1)=1+8=9 √Δ=3

	−b−√Δ		1−3		−2		1
b1=		=		=		=−
	2a		4		4		2

	−b+√Δ		1+3		4
b2=		=		=		=1
	2a		4		4

b₃=0

	1		1		1
c1=−2b12=−2*(−		)2=−2*		=−
	2		4		2

c₂=−2b₂²=−2*1²=−2 c₃=−2b₃²=−2*0²=0

	1		1		1
{ b1=−		→ f(x)=x2−		x−−
	2		2		2

	1
{ c1=−
	2

lub { b₂=1 → f(x)=x²+x−2 { c₂=−2 lub { b₃=0 → f(x)=x² { c₃=0

Keisim: Dziękuję wszystkim za udzieloną mi pomoc.

wilga: bardzo czasochłonne to rozwiązanie Gustlik