matura wykladnicza maturzystka:): Jak wyliczyc 5^x+¹₅^x

maturzystka:): i 1/5 w nawiasie takze ten x do potegi rowniez odnosi sie do 5 w mianowniku

Eta: co to jest? ...... równanie? ... nierówność? .......

lesio: 5=a 1/5=b a^x+b^x = (a+b)^x − 2ab (5+1/5)^x −2 = (26/5)^x −2

maturzystka:): To przytoczne cale zadanie Wyznacz wszystkie wartosci parametru m dla ktorych istnieje takie x ze liczby 5⁽1+x) + 5⁽1−x), ^m₂, 25^x+25⁻x sa kolejnymi wyrazami ciagu arytmetycznego. i wyliczylam do tego momentu ktory napisalam i pojawil sie problem.

maturzystka:): To przytoczne cale zadanie Wyznacz wszystkie wartosci parametru m dla ktorych istnieje takie x ze liczby 5^1+x + 5^1−x, ^m₂, 25x+25^−x sa kolejnymi wyrazami ciagu arytmetycznego. i wyliczylam do tego momentu ktory napisalam i pojawil sie problem.

maturzystka:): nom dobrze a jak z tego wyliczyc x? wydaje mi sie ze ppowinnam wykazac ze to co napisalam "ten moj problem" jest wieksze od 2, ale dlaczego to nie wiem... cos intuicja kobieca mi tak mowi

kalafiorowa:

	m
2*		=51+x+51−x+25x+25−x
	2

tak liczylas?

maturzystka:): tak i przeksztalcilam no i w tym miejscu utknelam..

crysalis: m=5+5^x+5+5^−x+25{x+(−x)

lesio: m = 5

lesio: zaraz zrobie zdjecie jak robilem moment

crysalis: brak wprawy wyszło mi m=35. Spróbuję napisać jeszcze raz

lesio: http://img140.imageshack.us/img140/9936/matmacustom.jpg

lesio: albo cos tu jednak zjebalem 5^x *5 nie rowna sie 5²x

kalafiorowa: ja bym zrobiła tak, ale nie dam sobie uciąć palca, że jest to na 100% dobrze 5^1+x+5^1−x+5^2x+5^−2x= 5^x(5+25)+5^−x(5+25)= (5+25)(5^x+5^−x)= 30(5^x+5^−x)=

	1		6
30[5x(1+		)]= 30(5x*		)= 36*5x
	5		5

m ∊ (36,+∞)

maturzystka:): zadanie pochodzi ze zbiorku kielbasy odp to mnalezy od <12;+nieskon) wlasnie nie wiem co z tym i kurcze nie wychodzi..

kalafiorowa: nie ma tam jakiejsc podpowiedzi? zadanka z kielbasy nie naleza do latwych

ola: w tych przekształceniach są błedy

ola: np. 5^x(5+5^x) a nie 5^x(5+25)

kalafiorowa: a czemu tak Olu? ja wyciagalam 5^x przed nawias

ola: 5^x(5+25)=5^x*5+5^x*25=5^x+1+5^x+2

kalafiorowa: faktycznie, masz racje

ola: m=5*5^x+5*¹_5^x+5^2x+¹_5^2x 5^x=t m=5(t+¹_t)+t²+¹_t²

ola: t+¹_t≤2 zawsze tak samo t²+¹_t²≤2 zawsze czyli m≤5*2+2

ola: przepraszam≥ wszedzie mialo byc

ola: t+¹_t≥2

ola: mnożę przez t obustronnie bo 5^x>0 t²+1≥2t t²−2t+1≥0 (t−1)²≥0

ola: czyli m≥12

maturzystka:): ja jeszcze mam pytanie bo intuiyjnie cos kojarze ale dlaczego i skad zalozenie ze t.. jest wieksze od 2?

ola: ja nie zakładam że t>2

ola: t jest liczbą dodatnią bo t=5^x

sari:

	1
Czemu t2 +		≥2 zawsze itd.?
	t

ZKS:

	1
t +		≥ 2 jest zawsze większe bądź równe 2 dla t > 0.
	t

Jeżeli t > 0 to mnożąc stronami przez t i nie zmieniając zwrotu nierówności mamy t² + 1 ≥ 2t t² − 2t + 1 ≥ 0 (t)² − 2 * 1 * t + (1)² ≥ 0 (t − 1)² ≥ 0 a jak wiemy kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny. Inny sposób to skorzystać z nierówności pomiędzy średnimi.

	1		1   t +   t
Średnia arytmetyczna liczb t oraz		to
	t		2

	1		1
średnia geometryczna liczb t oraz		to (t *		)1/2
	t		t

a wiemy że zachodzi a − m ≥ g − m

1   t +   t		1
	≥ (t *		)1/2
2		t

1   t +   t
	≥ 1
2

	1
t +		≥ 2.
	t

sari: ale, ja rozumiem, że t>0, wiemy to z podstawienia 5^x=t Gubię się przy tym, że: t=5^x

	1		1
m=5(t +		)+t2+
	t		t2

	1
i teraz nie wiem co się dzieje, z czego niby tu wynika, że t+		≥2
	t

sari: Dobra już to widzę, im mniejsze będzie t, tym większe 1/t, zawsze będzie ≥2, ale teraz jak to udowodnić? Z granicy? Jak to rozpisać, bo jak dla mnie to trochę wzięte z powietrza.

ZKS: Przecież Ci napisałem poczytaj trochę.

sari: Ok 2 sposób w pełni uznaje, ale w tym 1 pokazujesz coś używając tego co masz pokazać, tak to wygląda. Chcę udowodnić, że t+1/t≥2, a ty już z tego korzystasz mnożąc przez t. Nie za bardzo rozumiem 1 sposobu.

ZKS: Przekształcam równoważnie tę nierówność i dochodzę do postaci (t − 1)² ≥ 0 jest to prawdą ponieważ każda liczbą rzeczywista podniesiona do kwadratu jest nieujemna.