Równanie kwadratowe z parametrem madeleine: Dla jakich wartości parametru m równanie mx² − (m−3)x + 1 = 0 ma różne pierwiastki x₁ i x₂ spełniające warunek |x₁|+|x₂| ≤ 1?

Eta: Ix₁I= x₁² Ix₂I= x₂² to:

	b2−2ac
Ix1I+Ix2I=x12+x22=(x1+x2)2−2x1*x2=(−ba)2−2*ca=
	a2

to: Ix₁I+Ix₂I ≤1 <=> b²−2ac ≤ a² teraz układ warunków dla parametru "m": 1/ m≠0 2/ Δ>0 3/ b²−2ac ≤a² jako odp: podaj część wspólną dla tych trzech warunków Powodzenia , z pewnością już sobie poradzisz

Eta: Przekształcenie tego warunku otrzymujemy ze worów Viete^'a ...... to myślę,że wiesz

aaaaaa: a ja tego zapisu nie ogarniam a chciałabym to zadanie zrozumiec

madeleine: Teraz już sobie poradzę Dziękuję bardzo

Basia: Eto chyba jesteś już bardzo zmęczona, albo ten zbliżający się front atmosferyczny (u nas już jest i ) daje Ci w kość, bo przecież |x₁|≠x₁² Tam prawdopodobnie miało być |x₁|²+|x₂|²≤1(bo tak jak jest to zadanie jest potwornie trudne do rozwiązania) i wtedy |x₁|²=x₁². Pozdrawiam

Eta: Witaj Basiu oczywiście masz rację , miałam zapisać Ix₁I²= x² Dzięki za poprawkę! Z pewnością warunek miał być Ix₁I²+ I x₂I² ≤1 Zatem pora odpocząć

Basia: Jednak można to zadanie rozwiązać tak jak jest napisane czyli z warunkiem |x₁|+|x₂|≤1. Moja propozycja niżej.

Basia: mx²−(m−3)x+1=0 równanie nie może być liniowe czyli m≠0 Δ>0 Δ=[−(m−3)]²−4*m*1=(m−3)²−4m=m²−6m+9−4m=m²−10m+9 m²−10m+9>0 Δ_m=(−10)²−4*1*9=100−36=64 √Δ_m=8 m₁=¹⁰⁻⁸₂=1 m₂=¹⁰⁺⁸₂=9 m∊(−∞,1)∪(9,+∞) 1. x₁≥0 i x₂≥0 |x₁|+|x₂|=x₁+x₂=^−b_a≤1 ponadto x₁*x₂=^c_a≥0 x₁+x₂=^−b_a>0 ^c_a=¹_m ¹_m≥0 m>0 ^−b_a=^m−3_m ponieważ m>0 to m−3>0 m>3 ^m−3_m≤1 /*m (m>0 kierunek nierówności się nie zmienia) m−3≤m 0≤3 prawdziwe dla każdego m czyli mamy m∊[(−∞,1)∪(9,+∞)]∩(3,+∞) m∊(9,+∞) 2. x₁≤0 i x₂≤0 |x₁|+|x₂|=−x₁−x₂=−(x₁+x₂)=−^−b_a=^b_a≤1 ponadto x₁*x₂=^c_a≥0 oraz x₁+x₂=^−b_a<0 ^c_a=¹_m ¹_m≥0 m>0 ^−b_a=^m−3_m<0 ponieważ m>0 to m−3<0 m<3 ^b_a=^−m+3_m ^−m+3_m≤1 /*m (m>0 kierunek nierówności się nie zmienia) −m+3≤m −2m≤−3 m≥³₂ czyli mamy m∊[(−∞,1)∪(9,+∞)]∩<³₂,3)=∅ nie ma w tym przypadku rozwiązań spełniających warunki zadania 3. x₁≤0 i x₂≥0 wzory Viete'a niestety nie do końca nam tu pomogą, ale

	m−3−√Δ
x1=
	2m

	−m+3+√Δ
|x1|=−x1=
	2m

	m−3+√Δ
|x2|=x2=
	2m

	2√Δ
|x1|+|x2|=		= U{√Δ{m}
	2m

√Δ
	≤1
m

ponieważ x₁*x₂≤0 to ^c_a=¹_m≤0 to m<0

	√Δ
√Δ>0 czyli		<0≤1
	m

czyli mamy m∊(−∞,0) ale musi być jeszcze x₁≤0

m−3−√Δ
	≤0
2m

m−3−√Δ≥0 √Δ≤m−3 spełnione dla każdego m<0 i x₂≥0

m−3+√Δ
	≥0
2m

m−3+√Δ≤0 √Δ≤3−m Δ≤(3−m)² m²−10m+9≤ 9−6m+m² −4m≤0 m≥0 sprzeczność 4. x₁≥0 i x₂≤0 liczymy jak w (3)

	m−3−√Δ
x1=
	2m

	m−3−√Δ
|x1|=x1=
	2m

	−m+3−√Δ
|x2|=−x2=
	2m

	−2√Δ
|x1|+|x2|=		= U{−√Δ{m}
	2m

√Δ
	≤1
m

ponieważ x₁*x₂≤0 to ^c_a=¹_m≤0 to m<0

−√Δ
	≤1 /*m
m

−√Δ≥−m /*(−1) √Δ≤m sprzeczność bo √Δ>0 a m<0 ostatecznie mamy m∊(9,+∞) pod warunkiem, że się gdzieś w rachunkach nie pomyliłam

maxiol77: ładnie tak po nocach siedzieć? mi wyszło m∊<9ósmych ; ∞)

madeleine: Odpowiedź jest m∊(9,+∞) Dziękuję Wam

Basia: maxiol77 Pełnia jest. Wampirzyce i wilkołaczyce nie śpią. Wyruszają na żer.