pomocy! klaudia:): Czy istnieje styczna do wykresu funkcji f(x) = cosx + cosxsinx + cosxsin²x + ...(suma szeregu geometrycznego) równoległa do prostej y = 2x + 3. Uzasadnij odpowiedź.

Basia: f(x) = cosx(1+sinx+sin²x+...................) S=1+sinx+sin^x+................ jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego, w którym a₁=1 q=sinx dla |q|≥1 ciąg jest rozbieżny należy więc odrzucić przypadki gdy

	π		3π		π
|sinx|≥1 ⇔ |sinx|=1 ⇔ sinx=1 lub sinx=−1 ⇔ x=		+2kπ lub x=		+2kπ ⇔ x=		+kπ
	2		2		2

	π
dla x≠		+kπ
	2

	1		1		cosx
S=a1*		= cosx*		=
	1−q		1−sinx		1−sinx

policzyć pochodną i zbadać czy istnieje takie x, dla którego f'(x)=2 skończyć mogę za godzinę

klaudia:): a da się to bez pochodnych obliczyć? bo teraz już nie ma tego w programie maturalnym...

Basia: wydaje mi się, że bez pochodnych nie da się tego zadania rozwiązać, ale oczywiście mogę się mylić możliwe również, że zadanie nieco wykracza poza obecny program szkoły średniej

Basia:

	π		cosx
dla x≠		+kπ f(x)=
	2		1−sinx

	(cosx)'*(1−sinx)−(1−sinx)'*cosx
f'(x) =		=
	(1−sinx)2

−sinx(1−sinx)−(−cosx)(1−sinx)
	=
(1−sinx)2

(1−sinx)(−sinx+cosx)
	=
(1−sinx)2

cosx−sinx
1−sinx

cosx−sinx
	=2
1−sinx

cosx−sinx
	−2=0
1−sinx

cosx−sinx−2(1−sinx)
	=0
1−sinx

cosx−sinx−2+2sinx=0 cosx+sinx−2=0 cosx+sinx=2 a to jest niemożliwe, bo musiałoby być sinx=cosx=1 tymczasem

	√2
sinx=cosx ⇔ x=π4+2kπ i wtedy sinx=cosx=
	2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− można ewentualnie próbować jakoś przekształcić

	cosx
f(x) =		=
	1−sinx

cos2x2−sin2x2
	=
sin2x2+cos2x2−2sinx2cosx2

(cosx2−sinx2)((cosx2+sinx2)
	=
(cosx2−sinx2)2

cosx2+sinx2
cosx2−sinx2

co po podzieleniu licznika i mianownika przez cos^x₂ da

1+tgx2
1−tgx2

ale to nic nie daje, też trzeba liczyć pochodną, a będzie bardziej skomplikowana