suma szeregu potęgowego Yoda: Mam pewien problem z policzeniem sumy szeregu potegowego:

	4n xn
∑
	3n(n+1)

jezeli moglbym prosic o jakas pomoc do tego.

Jack: okresl promien koła zbieznosci.

Yoda: Tylko jak powinienem przeksztalcic ten szereg? myslalem nad podstawieniem na poczatku

	4x
y=		ale nie wiem czy dobrze bedzie bo niemam odpowiedzi do tego.
	3

Jack:

	4n
an=
	3n(n+1)

Sprawdź warunek zbieżności (Cauchyego). Mnie się zdaje że ten szereg jest rozbieżny.

b.: promien kola to standardowo, ze znanego wzorku, a jesli chodzi o sume, to trzeba odpowiednio skorzystac ze wzoru na rozniczkowanie lub calkowanie wyraz za wyrazem np.

	xn+1
(		)' = xn
	n+1

oraz

	xn+1		xn
		= x
	n+1		n+1

[stokrotka]

Yoda: moglibyście zobaczyć czy w miare dobrze? bo wpadlem na taki pomysl:

	4x
y=
	3

bedziemy mieli sume (n=0 do nieskonczonosci oczywiscie)

	yn		yn+1		yn+1
∑		=∑y−1		=y−1∑
	n+1		n+1		n+1

	yn+1
a teraz juz rozpatrze sobie poprostu ta sume ∑		wezme szereg rozniczek wyjdzie
	n+1

	1
mi promien zbieznosci |y|<1 potem wezme calke z jako sumy szeregu pochodnych		i
	1−y

dalej to tylko wyliczyc C, sprawdzic konce i wrocic z y do x? powinno byc wszystko dobrze?

b.: tak, wszystko dobrze mam tylko taka uwage, ze przy liczeniu sum szeregow czesto lepiej brac calki oznaczone, choc akurat w Twojej sytuacji to by na jedno wyszlo (to ma znaczenie, gdy sie chce calkowac wyraz za wyrazem, wtedy tylko nakladanie calki oznaczonej ma sens) proponuje tak

	yn+1		1
(∑		)' = ∑yn =		, (|y|<1)
	n+1		1−y

wiec odcalkowujac od 0 do t:

	tn+1		1
∑		− 0 = ∫0t		dy = − ln|1−t| (|t|<1)
	n+1		1−y

Yoda: Wielkie dzięki. A co do nakładania calki oznaczonej to moznaby poprosic jakis przyklad w ktorym mialoby to jakies wieksze konsekwencje? bo szczerze przyznam ze nie bardzo zrozumialem na tym przykladzie gdzie tak czy inaczej wychodzi to samo.

mama: np. w tym zadaniu, gdybys chcial uzyc tw. o calkowaniu wyraz za wyrazem, to wygladaloby to tak:

1
	= ∑yn, wiec
1−y

	1
∫0t		dy = ∫0t (∑yn) dy =* ∑(∫0t ∑yn dy) = ...
	1−y

w rownosci oznaczonej * musza byc calki oznaczone...

NK:

	n(x + 2)n
Czy umiałby ktoś obliczyć sumę i zbadać zbieżność takiego szeregu		? Będę
	3n

wdzięczna za pomoc

Krzysiek: aby zbadać zbieżność skorzystaj z tw. Cauchy'ego−Hadamarda a sumę można policzyć np. tak:

	x+2
podstawienie: t=
	3

∑_n=0 tⁿ =... i zróżniczkować obustronnie

NK: a jest jakaś różnica w twierdzeniu Cauchy'ego−Hadamarda od twierdzenia Cauchy'ego ?

Krzysiek: http://pl.wikipedia.org/wiki/Szereg_pot%C4%99gowy

NK: A mógłbyś coś więcej napisać o tej zbieżności, bo nie robiliśmy takich przykładów jak ten a w poniedziałek mam egzamin i na prawdę już nie mam kogo prosić o pomoc.. bardzo bardzo Cie proszę

Krzysiek: policz lim_n→∞ ⁿ√a_n

NK:

	n(x+2)		(x+2)
no to wychodzi		no i n zmierza do ∞ to będzie ∞
	3		3

NK:

	1
i R będzie		czyli 0 ?
	∞

Krzysiek:

	x+2
nie, granica to będzie:
	3

(ⁿ√n →1 )

	x+2
zatem szereg jest zbieżny dla: |		| <1
	3

NK: aa no faktycznie a R bedzie jakie ?

Krzysiek:

	n
jeżeli chcesz tak jak na wiki, to wtedy an =
	3n

zatem lim_n→∞ ⁿ√a_n =1/3

	1
zatem: r=		=3
	1/3

lub ogólnie tak jak Ty zrobiłeś skorzystałeś z kryterium Cauchy'ego zbieżności

	x+2
i wtedy szereg jest zbieżny gdy |		|<1
	3

(to samo wyjdzie)

NK: aha, teraz rozumiem dzieki wielkie