Agatka: Czy mógłby mi ktoś krok po kroku to wytłumaczyć Proszę:( Znajdź wszystkie liczby naturalne spełniające nierówność: 1)(x-1)²+8 ≥ 2x-1 + (x-1) (x+3) nad 3 2) 3+|x-5| ≥ 4

Basia: chyba nie "nad 3" tylko po prostu dzielone przez 3; czy tak?

Basia: próbuję Ci pomóc, ale nie odpowiadasz

Pakos: 1) mnożysz wszystko razy trzy (o ile dobrze rozumiem zapis "nad 3"). Wychodzi: 3(x-1)² + 24 ≥ 2x-1 + 3(x-1)(x+3) wymnażasz i dodajesz: 3(x² - 2x + 1) + 24 - 2x + 1 - 3(x² + 3x - x - 3) ≥ 0 i dalej 3x² - 6x + 3 + 24 - 2x + 3 - 3(x² + 2x - 3) ≥ 0 i kolejno 3x² - 6x - 30 - 2x - 3x² - 6x + 9 ≥ 0 i teraz z górki -14x - 21 ≥ 0 wyciągamy -7 przed nawias -7(2x-3) ≥ 0 dzielimy przez - 7 (pamiętaj o zmianie znaku nierówności, gdy minus) 2x - 3 ≤ 0 ⇔ 2x ≤ 3 ⇔ x ≤ 3/2. Patrząc na treść (tylko naturalne, czyli > 0, np. 1,2,3,4...) wnioskujemy, że nierówność spełniona jest tylko dla x = 1 (bo większy od zera, ale mniejszy od naszego wyniku: 3/2 i jest naturalny). 2) 3 + |x - 5| ≥ 4 ⇔ |x - 5| ≥ 1 z definicji wartości bezwzględnej wiemy, że musimy rozważyć dwa przypadki, gdy |x - 5| jest ≥ 0 oraz gdy ≤ 0. Zatem sprawdzamy. *) Założenie: dla x - 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5 (bardzo ważne, nigdy go - założenie - nie omijaj) Z definicji wart. bezw. x - 5 ≥ 1 ⇔ x ≥ 6 sprawdzamy z założeniem (widzisz chyba, że jest bardzo istotne). Stwierdzamy, że nierówność jest spełniona dla x ≥ 6. **) Założenie: dla x - 5 ≤ 0 ⇔ x ≤ 5 Z definicji wart. bezw. -x + 5 ≥ 1 ⇔ -x ≥ -4 ⇔ x ≤ 4 sprawdzamy z założeniem. Stwierdzamy, że nierówność jest spełniona dla x ≤ 4 Podsumowujemy oba stwierdzenia (jakby oba założenia). Nierówność jest spełniona dla x ≤ 4 (czyli w zbiorze naturalnym dla 1,2,3,4) oraz dla x ≥ 6 (czyli w zbiorze naturalnym dla 6,7,8,9... etc.)