nie daje rady z tym zadaniem ;p arti: Rozwiąż równanie: ¹_{sin x}=¹_{sin 4x} w przedziale <−π;π>

Jakub:

1		1
	=
sin x		sin 4x

Na początku wyznaczam dziedzinę sin x ≠ 0 i sin 4x ≠ 0 x ≠ kπ 4x ≠ kπ /:4 x ≠ ^kπ₄ gdzie k to dowolna liczba całkowita Z przedziału <−π,π> muszę więc wyrzucić następujące liczby −π,0,−π (to z kπ), −π, −³₄π, −²₄π, −¹₄π, 0, ¹₄π, ²₄π, ³₄π, π (to z ^kπ₄) Równanie zatem rozwiązuję w zbiorze <−π,π> \ { −π, −³₄π, −²₄π, −¹₄π, 0, ¹₄π, ²₄π, ³₄π, π }

1		1
	=
sin x		sin 4x

1		1
	−		= 0
sin x		sin 4x

sin 4x		sin x
	−		= 0
sin x * sin 4x		sin x * sin 4x

sin 4x − sin x
	= 0
sin x * sin 4x

sin 4x − sin x = 0 ( ze wzoru sinα − sinβ = 2sin^α−β₂cos^α+β₂ ) 2sin^4x−x₂cos^4x+x₂ = 0 /:2 sin³₂x * cos⁵₂x = 0 sin³₂x = 0 lub cos⁵₂x = 0 ³₂x = kπ /:³₂ ⁵₂x = ^π₂+kπ /:⁵₂ x = ²₃kπ x = ^2π₁₀ + ²₅kπ Teraz podstawiaj za k różne liczby całkowite, licz x i sprawdzaj, które z nich należą do dziedziny równania <−π,π> \ { −π, −³₄π, −²₄π, −¹₄π, 0, ¹₄π, ²₄π, ³₄π, π } Znajdziesz w ten sposób rozwiązania tego równania. Mi się już nie chce, bo to pracochłonne.

Bogdan: Wcale nie musi być aż takie pracochłonne.

1		1		π
	=		, założenie: x ≠ k*
sinx		sin4x		4

sin4x = sinx 4x = x + k*2π lub 4x = π − x + k*2π 3x = k*2π lub 5x = π + k*2π

	2		1		2
x = k*		π lub x =		π + k*		π
	3		5		5

Do odpowiedzi bierzemy liczby należące do przedziału <−π, π> z uwzględnieniem założenia.

arti: dzieki wielkie warto sobie wyjasnic niektore przyklady przed maturą

Yasio: Bogdan: powiedz mi nie powinno czasem być w 4x = x + k*2π lub 4x = π − (x + k*2π) wtedy wychodzi 5x = π − k*2π