L'Hospital, granice funkcji, asymptoty Monika: Oblicz granicę ciągu lim 4n – √(16n²+6n−15) lim┬(x→0)⁡〖(e^x−1)/sin2x〗 Wyznacz dziedzinę: y= ln⁡〖(x−2)〗/(x+2) + √(9−x² ) y= √(x−2)/(x²−1)+lnx² Wyznacz asymptoty funkcji: y=(x²−2)/(x−3) y=(x²−2)/(x−2) Oblicz lim┬(x→∞ )⁡〖(ln⁡(sinx))/x〗 lim┬(x→∞)⁡〖√(3n²+2n²−5)−n√3〗 Oblicz pochodną f(x)= (2x³+3x+4)/tgx , f(x)= 3sin3(−x3 – 5x2+2) f(x)= (4x³+3x+4)/ctgx , f(x)= 5cos2(−x3−4x+2) Wyznacz ekstrema i zbadaj monotoniczność f(x) = − 1/x²

Jack: lim 4n−√16n²+6n −15 rozszerz przez 4n+√16n²+6n −15 x→0

	ex−1
lim		skorzytstaj z d'Hospitala
	sinx

x→0

	x−2		x−2
y= ln		czy y= ln		+√9−x2 W każdym razie sprawdź co się
	(x+2)+√9−x2		(x+2)

dzieje w punktach wykluczonych przez dziedzinę (czy lim_x→α y = ±∞). w tych przykładach z pochodną skorzystaj ze wzoru na pochodną funkcji złożonej. gdy chodzi o ekstrema, wylicz pochodną i sprawdź kiedy się ona zeruje. Potem, dla tych punktów w których się zeruje, zbadaj zmianę znaku pochodnej.

Monika: ale chyba nie mogę przy granicy ciągu korzystać z Hospitala, to chyba tylko do granicy funkcji się stosuje... a jeśli chodzi o tą dziedzinę to chodzi o ten 2 przypadek

Jack: Masz "x", czy "n" przy granicy? Jeśli "x", to funkcję będą ciągłe i będziesz mogła różniczkować. Jesli jednak "n", to faktycznie nie. Ale z zapisu wnioskuję, że jestem "x" tam będzie stał. (w przykładzie pierwszym napisałaś "n", wiec myslę, że nie bez przyczyny zmienne zostały zamienione) Ten ciąg dla x=0 jest równy wyrażeniu nieokreślonemu [⁰₀]. Obie funkcje są ciągłe i różniczkowalne, więc granica będzie równa ilorazowi pochodnych.

Monika: a mam prośbę, czy mógłby mi Pan podać wyniki do tych zadań? bo liczyłam je, ale nie wiem czy dobrze

Monika: i mam pytanie, czy jest jakaś dobra metoda na liczenie granicy funkcji, bo niestety się w tym gubie i czasem pewna granica wychodzi mi dobrze, a z kolei inna źle..

Jack: generalnie ogólnej metody nie ma, jednak są różne rodzaje granic. Sposób dobiera się do rodzaju. Mów mi Jacek W pierwszej granicy wyjdzie (o ile się nie pomyliłem ale liczenie jest dość proste) −³₂, w drugiej 1. Asymptoty musiałbym policzyć, ale trzeba zacząć od dziedziny i badać zachowanie funkcji w punktach wykluczonych przez dziedzinę.

Jack:

	x−2
Dla y= ln		+√9−x2
	x+2

Dziedzina:

x−2
	>0
x+2

(x−2)(x+2)>0 ⇒ x∊(−∞,−2)u(2,+∞) oraz 9−x²≥0 (3−x)(3+x)≥0 ⇒ x∊<−3,3> Wieć ostatecznie przecięcie tych zbiorów daje nam: x∊<−3,−2) u (2,3> Musimy teraz zbadać zachowanie funkcji na brzegu zbioru otwartego, czyli w punkcie −2 oraz 2.

	x−2
lim ln		+√9−x2=.....
	x+2

x→2⁺

	x−2
lim ln		+√9−x2 NIE MA SENSU BADAĆ ze wzlgędu na dziedzinę
	x+2

x→2⁻ oraz

	x−2
lim ln		+√9−x2 NIE MA SENSU BADAĆ ze wzlgędu na dziedzinę
	x+2

x→−2⁺

	x−2
lim ln		+√9−x2=.....
	x+2

x→−2⁻ Jeśli wyjdą nieskończoności będzie to znaczyło że istnieją asymptoty (moze się zdarzyć, że wyjdą np. asymptoty jednostronne, gdy będzie jedna nieskończoność).

Monika: ok, no mi ta granica pierwszego ciągu wyszła 3/4, już 2 razy liczyłam, może coś źle robie , trudno mi to wszystko tu ogarnąć,

Jack: granica 1)

	16n2−(16n2+6n15)
lim=		=
	4n+√16n2+6n−15

	−6n+15
=lim=		=
	4n+4n√1+6n16n2−1516n2)

	−6n+15
=lim		→ −64=−32
	4n(1+√1+6n16n2−1516n2)

Jack: ostatni krok: ....→⁻⁶_4*2=⁻⁶₈=−³₄

Monika: no dobrze, ale dlaczego to jest dzielone przez 16n² nie mogłabym tego podzielić prze np n²? i wtedy też liczby mi się skróca pod pierwiastkiem, tzn, wyjdą dwa zera? i wynik będzie taki sam

Jack: W ostatnim kroku dzielę przez 4n. Gdybym podzielił przez 16n², miałbym [⁰₀].

Monika: no rozumiem, ale czy nie mogłabym tego pod pierwiastkiem podzielić przez n², wtedy wychodzi zero pod pierwiastkiem, czyli pod ułamkiem zostanie samo 4...

Jack: nie bardzo rozumiem... spróbuj to może zapisać. Nie wiem, czy pamiętasz o tym, że dzielimy przez najwyższą potęgę mianownika (a nie dowolną), czyli przez n (mniejsza o współczynnik, który przy nim stoi)...

Monika: tak wiem, rozpisałabym to w tzn 16n2−(16n2+6n15) lim= _______________________________________ = 4n+√16n2+6n−15 −6n+15 =lim= ________________________________________ = 4n+4n √6n−15 −6n+15 =lim ________________________________________ 4n+4n √6n/n² −15/n² no i wtedy z 6n/n² zostanie mi 0 oraz z 15/n² zostanie mi zero i to pomnoże przez 4n przed pierwiastkiem i zostanie mi tylko pod ułamkiem 4n

Monika: 4n √6n/n2 −15/n2 to się zredukuje i będzie 0 jak podstawie nieskończoności pod n

Jack: Stopień mianownika to 1... Zapomniałaś w pierwiastku w mianowniku zostawić wyrazu 1 w: 4n√1+⁶ⁿ_16n².... Wyciągasz przed pierwiastek 16n².

Jack: poza tym jak dzielisz przez jakis wyraz to w przypadku sumy (czy roznicy) dzielisz przez kazdy wyraz. W tym przykładzie powinnas podzielic tez 4n przez n²... wtedy bedzie 0/0. wszystko przez to, ze podzielilas przez zbyt duzą potęgę.

Monika: no ok, ale to nie zmieni sytuacji i tak, bo przecież 1/n² da zero, mogłam to tak policzyć?

Monika: no wlaśnie się obawiałam że tak nie będzie, bo po prostu starałam się dostosować do zadania, jak znałam już wynik , ale ogólnie to jak mam pierwiastek to zawsze go dzielę przez np. n² (zawsze kwadrat?

Jack: Moze w ten sposób... Jeśli masz ułamek i symbol nieoznaczony [^∞_∞], wówczas dzielisz przez najwyższą potęgę mianownika (jeśli podzielisz przez zbyt dużą, może wyjśc inny symbol nieoznaczony [⁰₀],a wtedy musisz dzielić przez czynnik zerujący... i tak w kółko..) Jesli masz np 4√n⁴−47, to stopnień tego wyrażenie to 4*¹₂=2 jesli masz coś takiego: 4n√n², to stopień to 1+2*¹₂=2. Jedynka bo 4n¹, dwójka bo potęga n² i jeszcze razy 1/2 bo ta potęga siedzi pod pierwiastkiem.

Basia: nie; dzielisz zawsze przez najwyższą potęgę mianownika, a z wyrażenia podpierwiastkowego wyciągasz najwyższą potęgę wielomianu

√n3+1
	=
√n4+1

√n3(1+1n3)
	=
√n4(1+1n4)

n3/2*√1+1/n3
n2*√1+1/n4

i teraz n^3/2/n² = 1/n^1/2 = 1/√n stąd

	√1+1/n3		√1+0		1		1
=		→		=		=		=0
	√n*√1+1/n4		+∞*√1+0		+∞*1		+∞

Monika: no tak, ale jeśli mam symbol nieoznaczony to mogę liczyć Hospitalem i to mi ułatwia sprawę zgadza się?

Jack: Nie zawsze dlatego, że funkcje takie które Ci zbiegają do 0 lub ∞ (w liczniku i mianowniku) muszą być różniczkowalne (czyli ciągłe). Ciągi dla n∊N nie są ciągłe. Natomiast jeśli masz "x" (które reprezentują liczby rzeczywiste) w funkcjach, to zwykle można liczyć za pomocą reguły d'Hospitala. Ale na początek przeanalizuj sobie poprzednie zadanie i przykład Basi.

Monika: a mam jeszcze prośbę, możesz obliczyć mi ekstremum i monotoniczność dla tej funkcji 1/x²

Monika: przeprasza, zapomniałam o minusie, −1/x²

Maja: a jak policzyć granicę ciągu ⁿ√2ⁿ+3ⁿ+2ⁿ pomóżcie proszę

xx: Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach

sushi_ gg6397228: jezeli mamy a<b<c to tw o 3 ciagach c=ⁿ√cⁿ <= ⁿ√aⁿ+bⁿ+cⁿ <= ⁿ√3cⁿ= ⁿ√3 * c ⁿ√a −−>1 gdy n−−> nieskonczonosci

Bogdan: Nad polem tekstowym jest szereg przycisków: α, β, γ, δ, π, Δ, Ω, ∞, ≤, ≥, ∊, ⊂, ∫, ←, →, ⇒, ⇔, ∑, ≈, ≠, inne, rysuję. Wystarczy kliknąć.

Maja: spróbowałam rozwiązaći wyszło mi tak : 2←ⁿ√2ⁿ ≤ⁿ√2ⁿ+3ⁿ+2ⁿ≤ⁿ√2ⁿ+2ⁿ+2ⁿ=ⁿ√3*2ⁿ=2ⁿ√3→2 czy dobrze ?

Bogdan: czy na pewno pod pierwiastkiem jest 2ⁿ + 3ⁿ + 2ⁿ, bo to dziwny zapis

sushi_ gg6397228: widzisz, ze w moim zapisie jest "NAJWIEKSZA LICZBA − C", a Ty wziełaś najmniejsza

Maja: tak taki jest zapis, w takim razie uwzględniając liczbę 3 bo jest największa wychodzi mi takie rozwiązanie: 3←ⁿ√3ⁿ≤ⁿ√2ⁿ+3ⁿ+2ⁿ ≤ⁿ√3ⁿ+3ⁿ+3ⁿ = ⁿ√3*3ⁿ=3ⁿ√3→3