udowodnij że sin9+cos9 Marta: Udowodnij, że sin 9stopni + cos 9 stopni=1/2*sqrt{3+ sqrt{5} }

Marta: Udowodnij, że sin 9stopni + cos 9 stopni=¹₂*√3+√5

Jack: http://matematyka.pl/post711565.htm

Aza: zakładamy ,że taka równość zachodzi , wykażmy ,że zachodzi jedynka trygonometryczna dla sin²18^o+ cos²18^o=1 to podnosząc obydwie strony do kwaratu sin^9o+2sin9^o*cos^9o+cos²9^o= ¹₄( 3+√5) 1 + sin18^o = ³₄+ ¹₄√5

	√5−1
sin18o= 14√5−14 =
	4

i znów do kwadratu obydwie strony:

	6−2√5		3−√5
sin218o=		=
	16		8

	3−√5		8−3+√5		5+√5
to cos218o = 1 −		=		=
	8		8		8

	3−√5+5+√5
sin218o +cos218o =		= 1
	8

zatem wyjściowa równość jest prawdziwa P.S. Co o tym myślisz Jack ?

Jack: Dla mnie bomba Faktycznie można było iść "od tyłu" w tym dowodzie, unikam tego bo jestem przyzwyczajony do implikacji... To jednak rozwiązanie jest bardzo fajne (i proste!).

Aza:

Basia: Witaj Eto ! Bardzo mi przykro, ale: po pierwsze: z prawdziwości implikacji p⇒q nie wynika prawdziwość implikacji q⇒p. Udowodniłaś, że jeżeli sin9+cos9=¹₂√3+√5 ⇒ sin²18+cos²18=1 z tego niestety nie wynika, że sin9+cos9=¹₂√3+√5 bo z prawdziwości następnika nie wynika prawdziwość poprzednika. Z fałszu może wynikać prawda. Tylko z prawdy nie może wynikać fałsz. Stosując tę metodę mogę równie dobrze wyliczyć, że: jeżeli sin11+cos11=¹₂√3+√5 ⇒ sin²22+cos²22=1 albo jeżeli sin20+cos20=¹₂√3+√5 ⇒ sin²40+cos²40=1 i niezależnie od tego co tam sobie napiszę zawsze mi ta jedynka trygonometryczna wyjdzie, bo musi. Jeżeli następnik jest prawdziwy implikacja jest prawdziwa niezależnie od wartości logicznej poprzednika. po drugie: dowodzisz, że sin²18+cos²18=1 korzystając z tezy, bo cos²18 liczysz z 1 trygonometrycznej tą metodą mogę wykazać np., że sin9+cos9=√1,7 1+sin18=1,7 sin18=0,7 cos²18=1−0,49=0,51 i oczywiście 0,49+0,51=1

b.: rzeczywiscie, jesli *zalozysz* ze zachodzi teza, to juz niewiele pozostaje do udowodnienia jednak z Twoich *rachunkow* da sie wywnioskowac, ze dana rownosc zachodzi, jesli tylko wiedzielibysmy, ze

	√5−1
sin(18o)=		,
	4

a to jest policzone tutaj: 2018 [stokrotka]

Jack: to ja jednak nie będę chadzał "od tyłu". Uwaga b. o znajomości sin18^o faktycznie bardzo celna. Wtedy moglibyśmy równoważnościowo przechodzić między równościami.