zad mr. mr.: zad. 1 Wielomiany Wyznacz zbior liczb wymiernych, ktre mog byc pierwiastkami wielomianu W(x), jesli: W(x) = 2x³ + 6x² − 3x +1 zad. 2 Wykaz, ze liczba r jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x), jesli: W(x) = x⁴ + 2x³ + 4x² + 6x + 3, r = −1

Godzio: 1.

	1
±1 ±
	2

Godzio: 2. x² + 3 x⁴ + 2x³ + 4x² + 6x + 3 : (x² + 2x + 1) −x⁴ − 2x³ − x² −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 3x² + 6x + 3 −3x² − 6x − 3 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− = = W(x) dzieli się bez reszty przez (x+1)² wiec −1 jest dwukrotnym pierwiastkiem

mr. mr.: zad1

	1
skad to −,+		?
	2

mr. mr.: ale jak podstawiam 1 lub − 1 za x to nie wychodzi 0......

Godzio: .... , które mogą być pierwiastkami ... 1: p = −1,1 2: q = −1,1,−2,2

	p
Kandydacie na pierwiastki:
	q

mr. mr.: w jaki sposob mam okreslic krotnosc danego pierwiastka, jezeli faktycznie nim jest?

mr. mr.: musze pokolei sprawdzac, czy jest jednokrotny,tzn dziele przez np (x−1), czy jest dwukrotny(x−1)², czy jest trzykrotny(x−1)³ i tak az przy dzieleniu nie bede mial reszty? nie ma jakiegos szybszego sposobu?

mr. mr.: zad. okresl krotnosc pierwiastka r: W(x) = x⁵ +4x⁴ + 4x³ − 6x² − 24x −24 r=−2

Godzio: mozliwe ze jest ale to trzeba sie specjalistow zapytac x⁵ − 6x² + 4x³(x+1) − 24(x+1) = x²(x³−6) + 4(x³−6)(x+1) = (x³−6)(x²+4x +4) = (x³−6)(x+2)² x = −2 => krotność 2

mr. mr.: dalem ten przyklad, poniewaz gdyby podzielic w(x) przez (x+2) r bylby takze jednokrotny.... wiec jaki plynie z tego wniosek?.... ze nalezy sprawdzac czy r jest "x" krotny do momentu, az zalozmy przy r pieciokrotnym wielomian sie nie podzieli? Wtedy nalezy patrzec na ostania krotnosc ktora jest podzielnikiem, w wypadku przykladu czteroktotnym?

Godzio: jak masz przykład który ciężko rozłożyć na czynniki to najlepiej dzielić jest to chyba najlepszy sposób pokolei jak masz x⁵ to możesz odrazu dzielic przez (x+2)² jak R(x) ≠ 0 sprawdzasz dla (x+2) i wychodzi , dzielisz to dopóki reszta bedzie różna od zera

mr. mr.: tzn, ze gdyby reszta wychodzila i dla r jednokrotnego jak i dla r 2krotnego, musimy zastosowac jeszcze jeden wariant czyli dzielenie przez r 3krotne i tak az do skutku? napisales,ze dziele az reszta bedzie rozna od zera.... to teraz juz nie rozumiem...chyba nie moze byc rozna tylko rowna zero.... jak to jest...

Godzio: Kiedy reszta jest równa zero tzn ze to przez co dzielisz jest pierwiastkiem, kiedy zaś Reszta ≠ 0 to już nie jest. np: Q(x) W(x) : (x−1) Q(x)(x−1) −−−−−−−−−−−−− R(x) = 0 wtedy dalej dzielisz H(x) Q(x) : (x−1) H(x)(x−1) −−−−−−−−−−−− R(x) ≠ 0 więc 1 jest jednokrotnym pierwiastkiem W(x) zrozumiałe ?

mr. mr.: no wlasnie o to mi chodzi..... moge sprawdzic czy r jest jednokrotne, czy dwukrotne ,jezeli po podzieleniu dadza reszte = 0 np. jezeli W(x) po podzieloniu przez (x−1) czyli pierwiastek jednokrotny da R(x) = 0 tzn, ze (x−1) faktycznie jest tym pierwiastkiem, ale gdy W(x) dzieli sie rowniez przez (x−1)² czyli pieriwastek dwukrotny i R(x) rowniez = 0, tzn ze (x−1)² takze jest dobry... Czy tak mam to rozumiec? tylko jezeli W(x) dzieli sie i przez (x−1) oraz przez (x−1)² to w odpowiedzi wybieram pierwiastek z wyzsza krotnoscia?

Godzio: chodziło mi o to żeby sobie uprościć drogę jeżeli podzielisz przez x−1 to zajmie Ci to sporo miejsca dzielac przez (x−1)² wynik wyjdzie w 1−2 przejściach bo wszystko się ładnie skórci ( o ile jest to pierwiastek dwukrotny), Masz kilka opcji: 1. Dzielisz W(x) cały czas przez (x−1) dopóki dopóty nie otrzymasz Reszty różnej od zera 2. Przy większym wyrażeniu (np. 5 stopnia) możesz dzielić przez (x−1)² żeby szybciej się liczyło, oczywiście możesz też przez (x−1) potem znow przez (x−1) dopóki nie bedziesz mial reszty ≠ 0

Jack: Jeśli umiesz, możesz policzyć pochodną i zobaczyć, czy dana liczba "a" jest równiez jej pierwiastkiem. Jeśli jest, to znaczy, że jest co najmniej dwukrotnym (można to rozumowanie przenosić na drugą pochodną itp). Pochodne wielomianów się zwykle szybciej liczy niż wykonuje dzielenie, więc warto czasem z tego skorzystać.

mr. mr.: po prostu musze dzielic najpierw przez (x−1), jezeli nie bedzie reszty, to nastepnym krokiem jest dzielenie wielomianu przez (x−1)², jezeli tutaj rowniez nie bedzie reszty, to dziele przez (x−1)³ okazuje sie, ze jest reszta, wiec dane "r" w tym wypadku r = 1 jest dwukrotne? chodzilo Ci o to, aby dzieli do momentu, kiedy wynikiem mojego ostatniego kroku bedzie R(x)≠0 wtedy odpowiedzia bedzie krok przedostatni, czyli najwyzsza krotnosc "r" przez jaka moge podzielic wielomian, aby reszta wyszla zero?

Godzio: nie nie nie, źle mnie zrozumiałeś cały czas dzielisz przez (x−1) jeżeli chcesz przyspieszyć proces zamiast dzielic przez (x−1) potem znow przez (x−1) mozesz to zastapic dzielac przez (x−1)²

Godzio: oczywiście możesz też tak robić tak jak mówisz ale lepiej wtedy to co otrzymałeś dzieląc przez (x−1) znów podzielić przez (x−1)

Godzio: Załóżmy że dzieląc przez (x−1) wielomian W(x) otrzymałeś jakiś wielomian H(x) ( bez reszty ) więc dalej dzielisz ten H(x) przez (x−1) ( nie wracasz do W(x) i nie dzielisz go przez (x+1)² choć tak też można zrobić)

mr. mr.: dokladnie tak, to ja przekombinowalem.... zaczalem rozwiazywac przyklady i od razu liczylem tylko, przez (x−1) tak jak napisales, moge dany wielomian podzielic od razu przez (x−1)² ale tylko wowczas, gdy wielomian zaczyna sie od x⁵ badz wyzszy.... ale chyba do x⁴ rowniez moge to zastosowac.... robimy tak, aby zaoszczedzic sobie czasu przy dochodzeniu do koncowego wyniku, czas to pieniadz Ogolnie juz wiem o co chodzi dzieki

mr. mr.: a jak mam zaczac rozwiazywac tego typu przyklad: dla jakich wartosci parametrow a, b liczba r jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x), jesli: W(x) = x³ − ax² + bx + 12, r = 2 sorki za brak polskich znakow, ale nie moge z nich korzystac od momentu przeinstalowania komputera....

Godzio: tutaj musisz domnożyć i przyrównać skoro ma być 2 − krotnym p. to (x−2)²(x+c) = x³ − ax² + bx + 12 wymnóż, wyłącz przed nawias, i przyrównaj współczynniki

mr. mr.: zrobilem, ale skad wiedziales, ze nalezy "domnozyc" (x+c) ? oraz przyrownac do W(x)?

mix: jeżeli r= 2 jest pierwiastkiem dwukrotnym , to W(x) jest podzielny przez ( x−2)² zatem: x³ −ax² +bx +12 ) : ( x²−4x+4) = x +(4−a) −x³ +4x² −4x −−−−−−−−−−−−− = ( 4−a)*x² +(b−4)*x +12 −( 4−a)*x² +4( 4−a)*x −4(4−a) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− = (b−4 +16 −4a)* x −16 +4a +12 dzielenie ma być bez reszty , zatem: b−4 +16 −4a=0 i −16 +4a +12=0 4a −b= 12 i 4a= 4 => a=1 to: b= −8 W(x) = x³ −x² −8x +12= ( x−2)² (x+3)

Godzio: Można też tak jak mix robiła ale łatwiej się pomylić w tym sposobie co ja podałem: Wiesz że wielomian jest stopnia trzeciego, i ma pierwiastek krotności 2 więc W(x) = (x−2)² * (x+c) => żeby wielomiany się równały muszą mieć ten sam stopień i dlatego trzeba dołożyć funkcje liniową gdyby np było : W(x) = x⁵ + ax³ + 2bx + 2 i powiedziane ze 1 jest jednokrotnym pierwiastkiem to trzeba to zapisać tak: (x⁴ + cx³ + dx² + ex + f)(x−1) = W(x) ale w tym wypadku chyba lepiej by bylo dzielić

mix: Można jeszcze tak: ( jak znamy pochodne) W(2)=0 =>W(2) = 8 −4a +2b+12 => 4a−2b= 20 i W^'(x) = 3x² −2ax +b to: W^'(2)=0 => 3*4 −2*a*2+b = −4a+b= −12 4a−2b=20 −4a+b= −12 −−−−−−−−−−− = −b= 8 => b= −8 to: a= 1

mix: Sposób podany przez Godzia jest w tym przypadku najprostszy