Liczby d.rws: Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 9. Robię to tak: n³ + (n+1)³ + (n+2)³ z czego wychodzi: 3 (n³ + 3n² + 5n + 3) nie wiem co mam dalej z tym zrobić Proszę o pomoc.

Godzio: proponuje zapisać to tak: (n−1)³ + n³ + (n+1)³ = n³ − 3n² + 3n − 1 + n³ + n³ + 3n² + 3n + 1 = 3n³ + 6n = 9n³ − 6n³ + 6n = 9n³ − 6n(n² − 1) = 9n³ − 6(n−1)*n*(n+1) = 9n³ − 2 * 3(n−1)*n*(n+1) (n−1)n(n+1) − to wyrażenie jest podzielne przez 3 i przez 2 skoro przez 3 to 3(n−1)*n*(n+1) − jest podzielne przez 9

AS: Nawiązując do wersji podanej przez autora,można wykorzystać indukcję matematyczną. Trzeba po prostu wykazać,że n³ + 3n² + 5n + 3 jest podzielne przez 3. n = 1 1³ + 3*1² + 5*1 + 3 = 12 = 3*4 jest podzielne przez 3 n = k k³ + 3*k² + 5*k + 3 zakładam,że jest podzielne przez 3 n = k + 1 (k + 1)³ + 3*(k + 1)² + 5*(k + 1) + 3 = ... = k³ + 6*k² + 14*k + 12 = (k³ + 3*k² + 5*k + 3) + (3*k² + 9*k + 9) Pierwszy nawias jest podzielny przez 3 z załoźenia dla n = k Drugi nawias jest podzielny przez 3 bo każdy wyraz wielomianu jest podzielny przez 3 a więc teza jest udowodniona,gdyż jest podzielna przez 3*3 czyli 9.