indukcja matematyczna - dowód adrian : Witam mam problem z zadaniem z indukcji matematycznej mam równanie 1*2+2*3+... (n−1) *n = [(n−1) n * (n+1)] / 3 L=P dla n>1 założenie n=k 1*2+2*3+... (k−1) *k = [(k−1) k * (k+1)] / 3 ( to jest w ułamku nie wiedziałem jak to zrobić) teza n=k+1 i tutaj zaczynają mi się schody czy to równanie ma wyglądać tak : 1*2+2*3+... (k−1) *k +[(k+1)−1) * (k+1) = [(k+1)−1) k * ((k+1)+1] / 3 dowód [(k−1) k * (k+1)] / 3 + [(k+1)−1) * (k+1) = czy mógłby ktoś tutaj poradzić?

Jack: teza tak powinna wyglądać:

	k(k+1)(k+2)
1*2+2*3+...+k*(k+1)=
	3

Jack: pierwszy krok robisz dla n=1 (ewentualnie 2, jeśli takie są założenia w zadaniu), dlatego nie powinieneś pisać "L=P dla n>1" bo to masz właśnie okazać!

adrian : Dowód czyli 1*2+2*3+...+k*(k+1) powinno się równać k(k+1)(k+2) /3 temu ? I jak patrze na zadania to jakaś część z założenia powinna być wspólna , jednak mój mózg tego nie widzi

Jack: 1*2+2*3+...+k*(k+1) =1*2+2*3+...+(k−1)*k+k*(k+1)

adrian : 1*2+2*3+...+k*(k+1) =1*2+2*3+...+(k−1)*k+k*(k+1) Jack tylko spokojnie , to jest założenie ? czy dowód bo już się w tym gubie

adrian : Dowód k(k+1)(k+2) /3 + k *(k+1) ? tak ma wyglądać ?

Jack: Założeniem jest że

	(k−1)k(k+1)
1*2+2*3+...+(k−1)*k=
	3

Tezą jest że:

	k(k+1)(k+2)
1*2+2*3+...+(k−1)*k+ k*(k+1)=
	3

Teraz jaśniej?

Jack: to na czerwono jest do zastąpienia w dowodzie.

adrian : tak jasne bo sam doszedłem do tego , juz jestem w trakcie liczenia długo będziesz jeszcze Jack

Jack: jeszcze troszkę posiedzę

Jack: przygotowujesz się do rozszerzonej matury czy robisz zadanka ze szkoły?

adrian : i muszę zastąpić wyrażeniem z założenia , czy mogę użyć z tezy ? chodzi mi o ten akurat przykład

	(k−1)k(k+1)
1*2+2*3+...+(k−1)*k+ k*(k+1) =		+ k*(k+1)
	3

	(k−1)k(k+1)
1*2+2*3+...+(k−1)*k −− to zastąpiłem
	3

adrian : mam na zajęcia zrobić jedno zadanie a nie było mnie na ćwiczeniach i mam notatki kolegi ale pisze jak kura pazurem xD ja już 2 lata po maturze

Jack: Dobrze, ta równość w pierwszej linijce wynika z założenia. Z tezy nie możesz korzystać, do tezy masz dojść. Teraz jak przekształcisz ten ułamek + k*(k+1) powinieneś otrzymać tezę.

adrian : sprowadzać do wspólnego mianownika ? czy może inna rada

Jack: Spoko, ja już też kilka lat... Powinno teraz wyjść.

Jack: mozesz ruszyć prawą stronę, wymnożyć wszystko w liczniku. A z lewej do wspolnego mianownika

adrian :

(k−1)*k(k−1)		k3−k
	z tego wyjdzie mi to ?
3		3

Jack: nie

Jack:

	(k−1)k(k+1)
czekaj... tam masz		... z tego wyjdzie
	3

mix: wtrącę się

(k−1)*k(k+1)		(k−1)*k(k+1)+3*k*(k+1)		k(k+1)[k−1+3]
	+k*(k+1)=		=		=
3		3		3

	k(k+1)(k+2)
=
	3

L=P

Jack: ooo spoko, myślałem że trzeba będzie liczyć deltę, a tego chciałem uniknąć

adrian : a możemy zrobić to wolniej xD ciut

k3 −k		3 ( k*(k+1))		k3−k * 3k2 +3k
	+		z tego
3		3		3

dobrym tokiem idę ?

Jack: zamiast tej gwiazdki po prawej w liczniku "+" i będzie ok.

adrian :

k3 + 3k2 +3k
	a jak to rozpisać ? z tego co mi wychodzi muszę się chyba pozbyć jakoś
3

3k²

Jack:

k3+3k2+2k
3

wymnóż teraz licznik tego wyrażenia z tezy, tego do którego masz dojść.

adrian : a racja jest wyszło , drogi Jacku bardzo dziękuję za bezinteresowną pomoc oraz Tobie mixie , ale chyba coś czuję, że jeszcze się spotkamy

Jack: Bardzo proszę, do następnego razu