zad mr. mr.: Wielomiany Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumiany (x−1),(x+2),x−3) daje odpowiednio rowne 5, 2, 27. Wyznacz reszte z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P(x) = (x−1)(x+2)(x−3). probowalem tak: W(x) = G(x)(x−1)(x+2)(x−3) + ax² + bx + c, jednak wynik nie jest poprawny... prosze o pomoc

Jack: W(1)=a+b+c=5 W(−2)=4a−2b+c=2 W(3)=9a+3b+c=27 Tak robiłeś i nie wyszło?

mr. mr.: wlasnie tak, ale zrobilem ten przyklad jeszcze raz i okazalo sie, ze byl blad w obliczeniach. dzieki

mr. mr.: Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez P(x) = x² + 2x − 3 jest rowna R(x) = 2x + 5. Wyznacz reszte z dzielenia tego wielomianu przez dwumian (x−2)

mr. mr.: mam kilka takich zadan, jakbym wiedzial jak zrobic to jedno, to wtedy poradzilbym sobie z pozostalymi.... prosze o pomoc

mr. mr.: ponawiam

Jack: dobrze przepisałeś ten ostatni przykład?

mr. mr.: masz racje. Powinno byc (x−1)

mr. mr.: Wyznacz reszte z dzielenia tego wielomianu przez dwumian (x−1)

Jack: ok. W(x)=Q(x)*(x²+2x−3)+R(x)=Q(x)*(x−1)(x+3)+R(x) Zatem liczymy: W(1)=Q(1)*0+R(1)=R(1)

mr. mr.: ok dzieki

mr. mr.: reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x) = x⁴ + 2x² −3 jest wielomianem R(x) = x³ − 5x +1. Wyznacz reszte z dzielenia tego wielomianu przez wielomian F(x) = x² −4 ja wiem, ze to zadanie jest podobne do poprzedniego, ale nie wiem jak zabrac sie za to wyrazenie: F(x) = x² −4

mr. mr.: powtarzam

Jack: P(x)=x⁴+2x²−3=x⁴+3x²−x²−3=x²(x²+3)−(x²+3)=(x²+3)(x²−1) Na pewno dobrze przepisałeś (wiem że tym razem zwracałeś większą uwagę ale może coś się omsknęło)?

mr. mr.: Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x) = x⁴ + 2x² −3 jest wielomianem R(x) = x³ − 2x² + x + 2.. Wyznacz reszte z dzielenia tego wielomianu przez wielomian F(x) = x2 − 1 sorki, mam pare zadan o tej samej tresci, tylko dane sie roznia. Musialem raz spojrzec w jedno, a raz w drugie...

mr. mr.: Dla jakich wartoci parametru a, b reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x) jest rowna R(x), gdy: W(x) = x³ + 4x² + ax + b, P(x) = x² + 3x + 2, R(x) = −10x −1

Jack: Zauważ, że to F(x) wyszło również po rozpisaniu P(x). W(x)=Q(x)*(x²+3)(x²−1)+R(x) Musimy jednak W(x) podzielić przez (x²−1), ponieważ szukamy tej właśnie reszty z dzielenia.

W(x)		Q(x)*(x2+3)(x2−1)		R(x)
	=		+
(x2−1)		(x2−1)		(x2−1)

W(x)		R(x)
	=Q(x)*(x2+3)+
(x2−1)		(x2−1)

Tak więc musisz policzyć ile wynosi iloraz R(x) przez (x²−1). czyli: (x³ − 2x² + x + 2):(x²−1)

Jack: W(x)=Q(x)*P(x)−R(x) W(x)=x³ + 4x² + ax + b=Q(x)*(x²+3x+2)−10x−1 Lecz P(x)=x²+3x+2=(x+1)(x+2) W(x)= x³ + 4x² + ax + b=Q(x)*(x+1)(x+2)−10x− Teraz policz W(−1) oraz W(−2).

mr. mr.: ok w tym pierwszym zadaniu z F(x) = x² −1 wynik mam poprawny. Troche dziwny ten sposob, nie mozna od razu podzielic R(x) przez (x² −1)? No bo w sumie te pozostale obliczenia sa niepotrzebne, skoro i tak mozna bylo sie bez nich obejsc znajdujac reszte....

Jack:

	Q(x)*P(x)
trzeba było pokazać, że wyrażenie		nie dodaje jeszcze jakiejś dziwnej
	(x2−1)

reszty do tej, która już była, czyli R(x).

mr. mr.: Dla jakich wartosci parametrow a, b wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x), jesli: W(x) = x⁴ − x³ − 9x² + ax + 2, P(x) = x² + 2x + b

Godzio: P(x) * (x² + cx + d) = W(x) zał. (x² + 2x + b)(x² + cx + d) = x⁴ + cx³ + dx² + 2x³ + 2x²c + 2xd + bx² + bcx + bd = x⁴ + (c+2)x³ + (d+2c+b)x² + (2d + bc)x + bd = x⁴ − x³ − 9x² + ax + 2 c + 2 = −1 d + 2c + b = −9 2d + bc = a bd = 2 c = −3 d − 6 + b = −9 2d −3b = a

	b
d =
	2

1,5b = −3 => b = −2 d = −1 a = −2 + 6 = 4

mr. mr.: skad wzielo sie to wyrazenie: (x² + cx + d) ?

Jack: porownaj stopnie wielomianów.

Godzio: (jakiś wielomian) * (wyraz przez który dzielimy wielomian W(x) => P(x)) = W(x) skoro wiemy że nasz dzielnik jest stopnia 2 => x² + 2x + b to pytamy się przez co musimy domnożyć wielomian W(x) aby było to stopnia 4 (funkcja kwadratowa) * (ogólny wzór funkcji kwadratowej) = (wielomian 4 stopnia) (x² + 2x + b) * (cx² + dx + e) = W(x) można to tak zapisać: (x² + 2x + b)(x² + cx + d) = W(x) bo wiemy że przy x⁴ jest 1

mr. mr.: ok teraz. rozumiem dzieki

kisiella: Czy to są zadania z poziomu podstawowego ?