zad... mam zadanie : wyznacz środek długości promienia okręgu x²+y²−6x+4y−12=0 x²+y²−3x+2y−6=0 (x²−3x−√3)−√3+(y²+2y+1)−1−12=0 ? (x−√3)²+(y+1)²=−13√3 ? s=(√3,−1) r=√13√3

Bogdan: x² + y² + ax + by + c = 0, środek S = (x₀, y₀), r − długość promienia,

	−a		−b
x0 =		, y0 =		, r = √ x02 + y02 − c
	2		2

mam zadanie : dzięki

Gustlik: Bogdan − bardzo dobrze − stosujesz tę samą metodę, co ja. Wielu nauczycieli stosuje okrężną kombinacyjną i niezrozumiałą dla wielu uczniów metodę typu "coś dodać, coś odjąć" polegającą na dodaniu i odjęciu liczb pasujących do wzoru sktróconego mnożenia, co tylko utrudnia uczniom rozwiącywanie zadań. A w matmie najlepsze są najprostsze rozwiązania.

Wydi: Jeśli już tym sposobem którym zacząłeś/aś to... x²+y²−6x+4y−12=0 x²−6x+9−9+y²+4y+4−4−12=0 (x−3)²+(y+2)²=25 P(3;−2) r=5

Wydi: Do BOGDANA Mógłbyś wyprowadzić te wzory które zastosowałeś tzn. skąd one się wzięły? Prosiłbym bardzo...

Basia: Właśnie z tej obrzydliwej metody kombinacyjnej zastosowanej do postaci ogólnej okręgu. x²+y²+ax+by+c=0 (x+^a₂)²−^a2₄ + (y+^b₂)²−^b2₄+c=0 (x+^a₂)²+(y+^b₂)²=^a2₄+^b2₄−c stąd x_S = −^a₂ y_S = −^b₂ r² = ^a2₄+^b2₄−c =x_S²+y_S²−c czyli r=√x_S²+y_S²−c nawiasem mówiąc ładniej to wygląda jeżeli zastosuje się taką postać ogólną równania okręgu x²+2ax+y²+2by+c=0 wtedy x_S=a y_S=b r = √a²+b²−c wyprowadza się identycznie

Gustlik: Podam lepiej wyglądający sposób wyprowadzania tych wzorów: x²+y²+Ax+By+C=0 (1) (x−a)²+(y−b)²=r² x²−2ax+a²+y²−2by+b²=r² x²+y²−2ax−2by+a²+b²−r²=0 (2) Porównujemy współczynniki równań (1) i (2) przy tych samych zmiennych:

	A
A=−2a /:(−2) → a=−
	2

	B
B=−2b /:(−2) → b=−
	2

C=a²+b²−r² → r=√a²+b²−C Trzy proste wzory − nie rozumiem, czemu nauczyciele w szkołach nie podają tych wzorów, tylko robią zadania metodą kombinacyjną. Nie każdy widzi, że w jednym miejscu trzeba dodać dajmy na to 9, a w innym miejscu odjąć 6, żeby pasowało to do wzorów skróconego mnożenia.

Basia: A ja rozumiem, chociaż nie jestem nauczycielem. 1. Zaśmiecanie pamięci jest niezdrowe 2. Brak umiejętności logicznego myślenia jest jeszcze bardziej niezdrowy 3. Sprowadzenie ogólnego równania okręgu do postaci kanonicznej zajmuje mniej więcej 1,5 sekundy.

Jack: Ja prawdę mówiąc też wolę "coś dodać, coś odjąć" (i wbrew pozorom nie wymaga ona od uczniów niczego więcej niż tylko znajomości wzoru skróconego mnożenia), niż liczyć na ułamkach i rozpisywać wzory ogólne. Wszystko zajmuje dosłownie pare sekund...

Eta: Basiu Tym oto sposobem "zmyłaś" Gustlika .... i poszedł spać Pozdrawiam

Basia: Mnie przeraża wręcz liczba wzorów, które obecnie w szkole podaje się "do wierzenia" i niemal bezmyślnego stosowania. Zaśmiecanie pamięci wzorami "na wysokość trójkąta równobocznego", "na pole trójkąta równobocznego", "na przekątną kwadratu" to istne kuriozum. Przecież to dosłownie w trzy sekundy z tw.Pitagorasa można policzyć i wtedy przynajmniej wie się po co i dlaczego. A już nie raz widziałam jak niektóre osoby próbują potem dwa pierwsze wzory "dopasować" do trójkąta równoramiennego. No bo jak to możliwe żeby wzoru ,do którego można bezmyślnie dane podstawić, nie było !

Basia: Witaj Eto ! Jestem dzisiaj zgryźliwa, wiem, ale naprawdę nóż mi się w kieszeni otwiera gdy widzę te "kilometry" wzorów podanych "do wierzenia" bez porządnego wyprowadzenia, bez dowodu, bez zrozumienia jak i dlaczego, a równocześnie pomijanie prostych, a mogących wiele ułatwić, wiadomości. Najlepszym przykładem z zakresu geometrii analitycznej jest kąt między wektorami oraz jego funkcje trygonometryczne. Łatwo to wytłumaczyć, jeszcze łatwiej na podstawie tw.cosinusów udowodnić, a jak pięknie upraszcza liczenie wszystkich pól trójkątów (i nie tylko), ale tego oczywiście już nie ma w programie, za to wzór "na przekątną kwadratu" oczywiście jest. Pozdrawiam

Gustlik: Basiu − lubisz te metody, bo Ci je wtłukła pani nauczycielka, która jak większośc nauczycieli uwielbia niezrozumiałe dla wielu osób metody "dookoła świata". Wiem, że większośc uczniów woli równanie okręgu przekształcać wzorem niż wyszukiwać liczb pasujących do wzorów skróconego mnożenia. Wiem, bo kiedyś też robiłem tą metoda kombinacyjną, teraz robię wzorami − o wiele szybciej. Równie dobrze metodą kombiacyjną można np. funkcję kwadratową przekształcać z postaci ogólnej do kanonicznej (też dopasowywanie liczb do wzoru skróconego mnożenia), a na p i q są podawane wzory. Więc nie rozumiem, czemu nie podaje się wzorów na przekształcenie równania okregu i znalezienie współrzędnych środka i promienia, tylko robi zadania metodami trudniejszymi, a uczniowie się głowią "dlaczego tu dodano 16, a tam odjęto 9", bo nie każdy to widzi. Ta metoda kombinacyjna jeszcze bardziej zaśmieca pamięć i niewiele ma wspólnego z logicznym myśleniem.

Basia: Wiesz udało mi się w roku pańskim 1986 doktoryzować na UW kierunek matematyka i jakoś się bez tych wzorów obeszłam nawet wtedy. Zresztą bez całej masy innych również. Do habilitacji też mi nie były potrzebne. Zaiste dziwne to jakieś.

Basia: Natomiast bez takich umiejętności jak błyskawiczne zwinięcie lub rozwinięcie znacznie bardziej skomplikowanych niż trójmian kwadratowy raczej nie zaliczyłabym nawet pierwszego roku studiów, nie mówiąc o reszcie. To czego teraz uczą w szkole to nie jest matematyka, to są rachunki na kiepskim poziomie. A wtedy kiedy chodziłam do szkoły posługiwano się wzorami na środek i promień okręgu. I chyba je jednak wtedy znałam, ale szybko postarałam się zapomnieć. Są ciekawsze rzeczy do pamiętania.

Jack: Nie rozumiem, jak można utrzymywać, że jest niepożądane zaśmiecanie głowy uczniom (którym w większości, swoją drogą, nigdy do niczego twierdzenia typu Pitagorasa, Talesa itp się nie przydadzą) niepotrzebnymi metodami typu "tu dodaj, tam odejmij", a z drugiej strony wpychać pod rękę tablice z których mają bezmyślnie przepisywać wzory "bo upraszczają, bo szybciej" itp! To jest właśnie sposób na WBIJANIE metod, o których piszesz! Piszesz, że szybciej podstawiając do wzoru coś wyliczyć, niż robiąc "na około" − nieprawda, nie zawsze jest szybciej.

Jack: zresztą na szczęście wielu na tym forum (i innych również) pyta nie tylko o odpowiedź ale często o podpowiedź ale wyjaśnienie dlaczego tak, a nie inaczej...

Basia: Ja też tego nie rozumiem Jack. Gorzej, to właśnie mnie przeraża. Bezmyślne korzystanie z setek wzorów, bez zrozumienia skąd się wzięły i do czego naprawdę mogą się przydać. Powtórzę: to nie jest matematyka. Matematyka to nie tylko rachunki. Liczyć trzeba umieć, ale to stanowczo za mało, żeby zrozumieć co to jest matematyka. Zresztą bez odrobiny choćby logiki formalnej i teorii mnogości po prostu się nie da. Szkoła w najmniejszym nawet stopniu nie pokazuje co to naprawdę jest matematyka. Stąd m.innymi taka straszna selekcja na pierwszym roku studiów matematyki. Ludzie nie radzą sobie z matematyką abstrakcyjną (teorią mnogości, algebrą abstrakcyjną, topologią), bo idąc na te studia nie mieli pojęcia, że coś takiego w ogóle istnieje i, że to właśnie jest matematyka. Niemniej jednak kto nie jest w stanie zauważyć, że x²−6x = (x−3)²−9 nie policzy nigdy żadnej całki z funkcji z trójmianem kwadratowym w mianowniku. Kto nie policzy takiej całki może zapomnieć o całej fizyce teoretycznej, o astronomii i chyba również o budownictwie, mechanice i innych takich technicznych historiach.

Gustlik: Przecież pokazałem, skąd się wzięły. A przekształcenie x²−6x = (x−3)²−9 każdy zrobi, nie martw się. Zwróć uwagę, że na maturze liczy się czas i na wyszukiwanie liczb pasujących do wzoru skróconego mnożenia czasu nie ma. Na takie kombinacyjne metody mozna sobie pozwolić na lekcji, a nie na sprawdzianie czy tym bardziej na maturze, gdzie liczy się czas. Dlatego uważam, że powinny być pokazane obie te metody, a nie tylko jedna − ta trudniejsza. U mnie właśnie w szkole tak było. I to dopiero uczy logicznego myślenia, bo wtedy uczeń wie, skąd wzięła się metoda uproszczona.

Wydi: mała prośba o wyprowadzenie wzorów i proszę bardzo co się dzieje...burza mózgów Jak napisaliście, czasami warto wiedzieć skąd się bierze dany wzór żeby w najgorszym wypadku sobie go wyprowadzić co nie zmienia faktu że w szkole zawsze powtarzają "nie musicie znać wszystkich wzorów bo macie 20 stronicową książeczkę do dyspozycji na maturze (ale tych których tam nie ma macie zapamiętać)"

Bogdan: Równanie okręgu w postaci kanonicznej: (x − x₀)² + (y − y₀)² = r² Środek okręgu S = (x₀, y₀), r − długość promienia. Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia otrzymujemy: x² − 2x₀x + x₀² + y² − 2y₀y + y₀² − r² = 0 x² + y² + (−2x₀)x + (−2y₀)y + (x₀² + y₀² − r²) = 0 Równanie okręgu w postaci ogólnej: x² + y² + ax + by + c = 0

	−a
−2x0 = a ⇒ x0 =
	2

	−b
−2x0 = b ⇒ x0 =
	2

x₀² + y₀² − r² = c ⇒ r² = x₀² + y₀² − c ⇒ r = √ x₀² + y₀² − r²

Wydi: OK

Gustlik: Bogdan − mały błąd, zapewne literówka albo zrobiłeś kopiuj−wklej i nie poprawiłeś. Powinno być:

	−b
−2y0=b → y0=		oraz r=√x02+y02−c. Poza tym wszystko OK.
	2

Eta: A ja uczyłam prosto, tak: ( x−a)²+(y−b)²= r² S( a,b) , r >0 x²−2ax +a² +y²−2by+b² −r²=0 gdzie: a²+b²− r²= c x² +y²−2ax −2by +c=0 gdzie : r²= a²+b²−c dla a²+b² −c >0 zatem współrzędne a i b środka S w równaniu ogólnym okręgu wyznaczamy dzieląc współczynniki przy x i y poprostu przez −2

Bogdan: Dziękuję Gustliku za poprawienie chochlika

Gustlik: Eto − no i Bogdana i zarazem "moja" metoda właśnie się z tego wzięła. Z porównania współczynników obu równań i dzielenia współczynników przy x i y przez −2.

	A
a=−
	2

	B
b=−
	2

r=√a²+b²−C Tylko ująłem to wzorami.