Monik: Jeżeli skrócimy dłuższą część przekątną rombu przy każdym wierzchołku o 4 cm, zaś przedłużymy krótszą przekątną o 1 cm to otrzymamy kwadrat. Pole otrzymanego kwadratu jest o 10 cm mniejsze od pola rombu. Oblicz pole kwadratu i pole rombu.

Monik: Nikt mi nie pomoże?

karloz: sprawdź czy to są wszystkie dane a jakbyś mogła to przepisz jeszcze raz zadanie, bo początek jest troszkę niezrozumiały (przynajmniej dla mnie )

Monik: Jeżeli skrócimy dłuższą przekątną rombu przy każdym wierzchołku o 4 cm, zaś przedłużymy krótszą przekątną o 1 cm to otrzymamy kwadrat. Pole otrzymanego kwadratu jest o 10 cm mniejsze od pola rombu. Oblicz pole rombu i kwadratu. Pomyliłam się na początku, teraz jest dobrze. Przepraszam za pomyłkę.

karloz: ok lecimy dłuższa przekątna rombu = x krótsza przekątna rombu = y przekątna kwadratu : d Pole rombu : P_r = (x*y)/2 Pole kwadratu : P_k = (d²)/2 z warunków zadania : P_k = P_r - 10 d = x - 8 oraz d = y + 2 co daje nam : y = x - 10 albo x = y + 10 (te dwa równania są prawdziwe dla rombu - ważne ) teraz: podstawiamy y = x - 10 do wzoru na pole rombu co daje nam P_r = (x²)/2 + 5x za d we wzorze na pole kwadratu wybieramy x - 8, więc pole otrzymujemy P_k = (x²)/2 - 8x + 32 z warunków zadania mamy P_k = P_r - 10 podstawiamy wzory, redukujemy wyrazy podobne i w ostateczności otrzymamy x = 14, więc : y = 4 P_r = (14*4)/2 = 28 P_k = ((14-8)²)/2 = 18 P_k = P_r - 10 mam nadzieję, że jasno wytłumaczone

Monik: super to jest to Mógłbyś wytłumaczyć mi w ten sam sposób to zadanie? Wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają tę samą długość. Oblicz kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.

karloz: dobra - skoro wszystkie krawędzie to jedziemy : krawędź ostrosłupa - a podstawa - wielokąt foremny, tutaj akurat kwadrat o boku a (ostrosłup prawidłowy czworokątny) interesuje nas kąt pomiędzy krawędzią boczną a przekątną podstawy. tak więc dokonujemy "wirtualnego" cięcia płaszczyzną poprowadzoną przez dwa przeciwległe rogi podstawy oraz wierzchołek ostrosłupa. w efekcie otrzymamy trójkąt równoramienny, któremu za podstawę posłuży przekątna podstawy ostrosłupa, natomiast za ramiona - krawędzie boczne ostrosłupa (brzmi skomplikowanie, ale jak się to narysuje to już jest łatwiej Teraz - skoro podstawą naszego trójkąta jest przekątna podstawy ostrosłupa (a jest nią kwadrat o boku a), to wprost z definicji przekątnej, albo z tw. Pitagorasa wiemy, że jej długość wynosi a√2 Nasz trójkąt jest równoramienny (ramiona = krawędzie ostrosłupa), tak więc długości ramion też znamy - każde ma długość a Z rysunku od razu widać, że do czynienia mamy z trójkątem prostokątnym, ale ponieważ w matematyce nie ma czegoś tagiego jak "z rysunku widać", przeprowadzamy prosty dowód: zakładamy, że kąt przy wierzchołku trójkąta ma miarę 90^o. Skoro tak, to będzie tutaj miało zastosowanie tw. Pitagorasa. Jako przeciwprostokątną wybieramy podstawę trójkąta i przeprowadzamy obliczenia. W ich wyniku nasze założenie zostaje potwierdzone. Teraz zostaje obliczyć nasz szukany kąt. Skoro do czynienia mamy z trójkątem, więc suma kątów wewnętrznych wynosi 180^o. 90^o zabiera nam kąt przy wierzchołku, więc "do podziału" zostaje też 90^o. Trójkąt równoramienny cechuje się tym, że kąty przy podstawie ma równe, tak więc 2alfa = 90^o a z tego alfa = 45^p (alfa to ten kąt przy podstawie) Ponieważ kąt przy podstawie jest jednocześnie kątem nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do jego podstawy, odpowiedzią jest : alfa = 45^o jeśli niczego nie pomieszałem i dobrze odczytałem zadanie, to chyba koniec

Monik: "Jako przeciwprostokątną wybieramy podstawę trójkąta i przeprowadzamy obliczenia. W ich wyniku nasze założenie zostaje potwierdzone." Jakie to obliczenia skoro nie mamy danych jaka jest długość podstawy trójkąta?

karloz: jak to nie masz? "Teraz - skoro podstawą naszego trójkąta jest przekątna podstawy ostrosłupa (a podstawa ta kwadrat o boku a), to wprost z definicji przekątnej, albo z tw. Pitagorasa wiemy, że jej długość wynosi a√2" - tak powinno być napisane. co do obliczeń - skoro przyjęłaś za długość krawędzi ostrosłupa "a", to obliczenia prowadzisz właśnie na tym "a". po co ci wartości liczbowe (długości krawędzi) skoro i tak masz wyliczyć kąt ?

Monik: a w jaki sposób to odnieść do wzoru a²+b²=c² ?

karloz: za c² przyjmujesz podstawę trójkąta (czyli twojego przekroju), dodatkowo tutaj a = b bo trojkąt jest równoramienny

Monik: czyli c²= √2 ? czyli a²+a²= √2 ?

karloz: dobra - krok po kroku 1 - narysuj sobie ostrosłup prawidłowy czworokątny 2 - jeżeli teraz przecięła byś ten ostrosłup wzdłuż przekątnej podstawy ople przekroju będzie trójkątem, zgadza się? 3 - ponieważ w zadaniu masz informację, że wszystkie krawędzie ostrosłupa mają tą samą długość (oznaczyliśmy ją na początku przez "a") to ramiona trójkąta uzyskanego z tego cięcia mają długość "a" 4 - teraz, ponieważ ostrosłup jest prawidłowy, to jego podstawą musi być wielokąt foremny (w tym przypadku kwadrat). Znowu odnosząc się do warunku, że wszystkie krawędzie są równe wiemy, że krawędź podstawy będzie również miała długość "a" 5 - podsumowując 3 i 4 : podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku "a" . 6 - znając bok kwadratu, wiesz jakiej długości jest jego przekątna - długość boku * √2, więc w naszym przypadku mamy a√2 7 - ponieważ przekątna podstawy jest równocześnie podstawą naszego trójkąta, który uzyskaliśmy z przecięcia ostrosłupa, nasz trójkąt jest już w pełni opisany - ramiona o długości "a" oraz podstawa o długości a√2 8 - jeżeli teraz założymy, że kąt pomiędzy ramionami tego trójkąta ma 90^o to będziemy mogli bez problemu wyznaczyć kąty przy podstawie (a te nas interesują). ale jeśli dokonamy takiego założenia, musimy to udowodnić i tu przyda nam się tw. Pitagorasa. 9 : założenie - przekrój ostrosłupa jest trójkątem prostokątnym, w którym kąt prosty znajduje się pomiędzy ramionami trójkąta teza - przeciwprostokątna tego trójkąta będzie miała długość a√2 oznaczenia : ramię trójkąta - a podstawa (nasza przeciwprostokątna) - d zgodnie z założeniem: d² = a² + a² d² = 2a² d = a√2 ale d to równocześnie przekątna podstawy, która ma rzeczywiście długość a√2 tak więc nasz przekrój jest trójkątem prostokątnym dalej to już jak w pierwszym - mamy kąt przy wierzchołku = 90^o itd mam nadzieję, że już bardziej przejrzyście się zrobiło

Monik: ale Cię wymęczyłam Ale bardzo bardzo bardzo bardzo bardzo bardzo dziękuję, szepne Mikołajowi o jakiś ekstra prezent

karloz: spoko - jeśli zrozumiałaś to już mam prezent