liczba pi Damian18: Wiedząc że liczba pi jest liczbą niewymierną, wykaż że liczba 2pi −1 też jest liczbą niewymierną.

Jack: iloczyn liczby niewymiernej i wymiernej (różnej od 0) jest niewymierny, różnica liczby niewymiernej i wymiernej jest niewymierna (pewnie potrzebujesz dowodu tego...?)

Damian18: tak koniecznie..

Jack: 1) różnica liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierna. p − liczba niewymierna

	a
q=		(a,b ∊Z)− liczba wymierna
	b

Niewprost. Niech p i q jak wyżej, lecz ich suma jest liczbą wymierną. p − q = ^c_d, gdzie c,d ∊Z

	c		c+ qd		c+abd
p=		+q=		=		(można dalej poprawić zeby wyszedł ładny ułamek...)
	d		d		d

Zatem p udało się przedstawić jako ułamek (o wyrazach z Z), czyli p jest wymierne. Sprzeczność z założeniem. Czyli różnica liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierna. (podobnie dla sumy) 2) iloczyn q*p jest niewymierny (o ile q≠0 − wymierna)

	a
Niewprost. q=		(a,b ∊Z) − wymierna, p − niewymierna, lecz iloczyn wymierny.
	b

	c
p*q=		: / q ⇒ q≠0
	d

	c		cb
p=		=
	dq		da

Zatem p udało się przedstawić jako ułamek o wyrazach z Z. Czyli p jest wymierna. Sprzeczność z założeniem. Stąd p*q jest niewymierne ( o ile nie mnożymy go przez 0)

Jack: ...na końcu: (o ile q przez które mnożymy liczbę niewymierną ≠0).