prosta sylwester: Dany jest okrąg o równaniu x ²+y²+6y=16 i prosta y=mx+2m−5 . Wykaż, że dla każdej wartości parametru m prosta l ma z okręgiem dokładnie 2 punkty wspólne. bardzo prosze o pomoc

Gustlik: Rozwiązujesz układ równań: {x²+y²+6y=16 {y=mx+2m−5 x²+(mx+2m−5)²+6(mx+2m−5)=16 x²+m²x²+4m²+25+2mx*2m−2mx*5−2*2m*5+6mx+12m−30−16=0 x²+m²x²+4m²+25+4m²x−10mx−20m+6mx+12m−30−16=0 x²+m²x²+4m²x−10mx+6mx+4m²−20m+12m+25−30−16=0 (1+m²)x²+(4m²−4m)x+4m²−8m−21=0 Równanie jest kwadratowe dla każdego m, bo a=1+m²>0. Δ=(4m²−4m)²−4(1+m²)(4m²−8m−21) Δ=16m⁴−32m³+16m²−4(4m²−8m−21+4m⁴−8m³−21m²) Δ=16m⁴−32m³+16m²−4(4m⁴−8m³−17m²−8m−21) Δ=16m⁴−32m³+16m²−16m⁴+32m³+68m²+32m+84 Δ=84m²+32m+84 Aby prosta miała z okręgiem 2 punkty wspólne, to powyższy układ musi mieć 2 rozwiązania, a więc Δ>0 84m²+32m+84>0 /:4 21m²+8m+21>0 Δ_m=64−4*21*21=64−1764=−1700 Ponieważ Δ_m<0, trójmian 21m²+8m+21 nie ma pierwiastków, a=21>0, czyli parabola jest skierowana ramionami do góry i nie ma punktów wspólnych z osią OX − parabola "wisi" nad osią OX. Czyli dla każdego m spełniony jest warunek Δ>o, zatem układ równań ma zawsze 2 rozwiązania i prosta ma z okręgiem 2 punkty wspólne. c.n.d.

Gustlik: Jeszcze jedna sprawa: zastosowałem tutaj wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy trzech składników: (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc