ciekawe trygonometryczno-geometryczne (a)pomocy Arystofanes: ciekawe : udowodnij, że trójkąt, którego kąty α, β, γ spełniają warunek sinγ(cosβ + cosα)=sinα + sinβ jest trójkątem iście prostokątnym ; ]

Bogdan: α + β + γ = 180^o ⇒ γ = 180^o − (α + β)

	α + β		α + β
sinγ = sin[180o − (α + β)] = sin(α + β) = 2sin		cos
	2		2

	α + β		α − β
cosα + cosβ = 2cos		cos
	2		2

	α + β		α − β
sinα + sinβ = 2sin		cos
	2		2

sinγ(cosβ + cosα) = sinα + sinβ

α + β

α + β

α + β

α − β

α + β

α − β

2sin

cos

* 2cos

cos

= 2sin

cos

2

2

2

2

2

2

	α + β		α + β		1
Po uproszczeniach: 2cos2		= 1 ⇒ cos2		=
	2		2		2

	α + β		√2		α + β		√2
cos		=		lub cos		= −
	2		2		2		2

	α + β		α + β
cos		= cos45o lub cos		= cos135o
	2		2

α + β		α + β
	= 45o lub		= 135o
2		2

α + β = 90^o lub α + β = 270^o sprzeczność dla trójkąta. Odp.: α + β = 90^o i γ 90^o, co należało wykazać.

Eta: Można też tak : a,b, c −−− długości boków trójkąta a, b, c, >0 ze wzoru sinusów i cosinusów

a		a
	=2R => sinα=
sinα		2R

b		b
	= 2R => sinβ=
sinβ		2R

c		c
	= 2R => sinγ=
sinγ		2R

z cosinusów:

	a2+c2−b2
cosβ=
	2ac

	b2+c2 −a2
cosα=
	2bc

podstawiając do danej zależności mamy:

c		a2+c2−b2		b2+c2 −a2		a		b		2R
	*(		+		)=		+		..... /*
2R		2ac		2bc		2R		2R		c

	a2+c2−b2		b2+c2−a2		a		b
		+		=		+		...... /*2abc
	2ac		2bc		c		c

b( a²+c²−b²) +a( b²+c² −a²) = 2ab( a+b) a²b+c²b −b³ +ab²+c²a−a³= 2ab( a+b) a²b +ab² +c²a +c²b −(a³ +b³)= 2ab( a+b) ab( a+b) +c²( a+b) − ( a+b)(a²−ab+b²)= 2ab( a+b) (a+b) ( ab +c² −( a² −ab +b²)= 2ab( a+b) / : ( a+b) ab +c² −a² +ab −b² = 2ab c²= a²+b² więc trójkąt jest prostokątny c.n.u

Eta: Dobrej nocy Wszystkim

Arystofanes: Zaprawdę powiadam Wam, hardzi jesteście matematycy : ) jak na moją maturalną mózgoczaszkę