log ***kiełbasa***: 407. rozwiąż: log²₂8x−log²₂4x+log²₂2x≥log₂64

miki: zał. x >0 log₂8x= log₂(2*4x) = log₂2+log₂4x= 1 +log₂4x log₂4x= t ( 1+t) −t² +1 ≥ 6

miki: poprawiam zapis: ( 1+t)² −t² +1 ≥6

Marcin: rozwiazanie jest troche pracochlonne (do przepisania) wiec kieruj się punktami 1. Roznice kwadratow jaka masz po lewej stronie rownania zapisujesz jako (a−b)(a+b) 2. Nastepnie "zwijasz" sobie log wykorzystujac wlasnosc, ze wszystkie z nich maja ta sama podstawe rowna 2. Zwijasz sobie kiedy + mnozac wyrazy w logarytmie, − dzielac 3. Doprowadzasz do postaci kiedy masz log₂32x + log₂2x ≥6 4. Teraz robisz z tego 4log₂ + log₂2x + log₂2x ≥6 5. Podstawiasz zmienne pomocnicza t = log₂2x i wyliczasz wartosc rownania kwadratowego 6. Pierwsiastki rownania przyrownujesz do log₂2x

kiełbasa: miki, jak doszedłeś do tego, że log²₂2x=1? Marcinie, dziękuję za wskazówki, zaraz spróbuję rozwiązać zgodnie z nimi, narazie jednak myślę nad podpowiedzią Mikiego. pozdrawiam.

Nikka: chyba coś nie tak − przecież tam są wszędzie kwadraty i ostatni wyraz to log²₂2x ?

kiełbasa: up.

Nikka: moja uwaga dotyczy rozwiązania Miki...

kiełbasa: ponawiam.

Nikka: a masz odpowiedź ?

kiełbasa:

	1
x∊(0,		>U<1,∞), wybacz, że tak długo, ale jako maturzystka mam mało czasu do stracenia i
	16

zajęłam się innymi zadaniami, nie patrząc na forum.

Nikka: ok, spróbuję policzyć

Marcin: Z mojego rozwiazania wynikałoby, ze x∊(0,1/8> U <1,∞) ktoś zrobił błąd rachunkowy, ja się do takiego nie przyznaje

Nikka: wyszło D: x > 0 (log₂(4*2x))² − (log₂(2*2x))² + (log₂2x)² ≥ log₂2⁶ (log₂4 + log₂2x)² − (log₂2 + log₂2x)² + (log₂2x)² ≥ 6 (2 + log₂2x)² − (1 + log₂2x)² + (log₂2x)² ≥ 6 log₂2x = t (2+t)² − (1+t)² + t² ≥ 6 4 + 4t + t² − 1 − 2t − t² + t² ≥ 6 t² + 2t −3 ≥ 0 Δ = 16 √Δ = 4 t = −3 lub t = 1 po narysowaniu paraboli t∊(−∞, −3)∪(1,+∞) czyli t ≤ −3 lub t ≥ 1 Stąd log₂2x ≤ −3 lub log₂2x ≥ 1 log₂2x ≤ log₂2⁻³ lub log₂2x ≥ log₂2

	1
2x ≤		lub 2x ≥ 2
	8

	1
x ≤		lub x ≥ 1
	16

uwzględniając dziedzinę nierówności (x > 0) otrzymujemy:

	1
x∊(0,		>∪<1, ∞)
	16

kiełbasa: jej robiłam tak samo i za każdym razem myliłam się w jednym i tym samym miejscu pod koniec. Dziękuję, spróbowałabyś jeszcze to zrobić: https://matematykaszkolna.pl/forum/46369.html bo chyba nikt nie chciał mi pomóc.

Marcin: 3. Doprowadzasz do postaci kiedy masz log₂32x + (log₂{2x})² ≥6 4. Teraz robisz z tego 4log₂2 + log₂2x + (log₂2x)² ≥6 Moja wina ... w pośpiechu potęgi pogubiłem, reszta schematu rozwiązania jest ok.

miki: Sorry , nie było mnie ( oglądałam film) Rzeczywiście ,że nie dostrzegłam ,że tam jest log₂²2x Nikka podała rozwiązanie

Nikka: sama rozwiązywałam chyba ze 4 razy i za każdym razem wychodziło mi coś innego