do wody ***kiełbasa***: 385D. wykaż że dla każdej liczby naturalnej k większej od 2 zachodzi równość log₃2*log₄3*log54*...*log_k+1k≥log_k+12

Jack: Może przez indukcję spróbuj.

kiełbas: 1. T(1)=log₂2≥log₂2 2≥2 ok. 2. T(k)⇒T(k+1) T(k+1)=log₃2*log₄3*log₅4*...*log_k+1+1k+1≥log_k+12 T(n)*log_k+2k+1≥log_k+12 i co dalej... chyba zamieszałam. dziękuję za podpowiedź, prawdopodobnie trafna

kiełbas: up

Jack: dla k=3. log₃2*log₄3*log₅4≥log₅2

	1		1
log32*		*		*2*log52>log52
	2		log32

1≥1 Załóżmy, że dla k= n teza zachodzi: log₃2*log₄3*log₅4*...*log_n+1n≥log_n+12 Udowodnimy, że dla k=n+1 również zachodzi: log₃2*log₄3*log₅4*...*log_n+1n*log_n+2n+1≥log_n+22 Zauważmy, że na mocy założenia: log₃2*log₄3*log₅4*...*log_n+1n≥log_n+12

	logn+22
zatem logn+12*logn+2n+1=		*logn+2 n+1=
	logn+2n+1

=log_n+22≥log_n+22. To należało pokazać. W ostatnim kroku zastasowałem wzór na zamianę podstaw logarytmu.

Jack: zrobiłem dla k=4... Pierwszy krok trzeba jeszcze raz przeliczyć... dla k=3 czyli log₃2*log₄3≥log₄2 ...

kiełbas: ok, pięknie dziękuję. 387. wykaż, że jeśli a,b ∊(0,1) to log_ab+log_ba≥2. Zaznaczam, że zadania sa na poziomie rozszerzonym oraz, że osobiście je przemyślałam i ostatecznie nie wiem jak je zrobić. Z całego dzisiejszego dnia kilka mi się takich zebrało.

zajączek:

	1
logab =
	logba

log_ba= t a, b€ (o,1) => t >0

	1
		+t ≥2 /*t
	t

t² +1 ≥2t (t−1)² ≥0 (log_ba −1)²≥0 c.n.u