całka / pomoc bartek: ∫ ( x + 1 ) / ( x² − x + 1 ) dx to jest ułamek, tylko coś nie wychodził w zapisie kodowym, to zapisałem go w takiej postaci... proszę o pomoc, w rozpisaniu tej całki wymiernej... z kodu tak wygląda > ∫^x+1_x²−x+1dx jeszcze raz proszę o pomoc...

Jack: Δ mianownika <0. pochodna mianownika f(x)=2x−1

	1		1
zapiszmy licznik inaczej:		*(2x−1)+
	2		2

całka rozbije się na dwie. Pierwsza to będzie oczywiscie odpowiedni logarytm a drugą zapiszmy tak:

1		1
	∫		dx.
2		(x−1/2)2+3/4

Podstawienie:

	3
x−1/2=t*√
	4

	√3
dx=		dt
	2

	2x−1
(Przyda się... t=		)
	√3

Otrzymujemy:

1		√3/2* dt		1		√3		4		1
	∫		=		*		*		∫		dt=
2		3/4t2+3/4		2		2		3		t2+1

	2x−1
=arctg t+ C=arctg (		) +C
	√3

PAMIĘTAJ O TEJ PIERWSZEJ CAŁCE!

everyman: Ok, sztuczka

	x+1
∫		dx
	x2−x+1

	1		3
zauważ że: x+1 =		(2x−1) +		, więc nasza całka wygląda teraz tak:
	2		2

	x+1
∫		dx =
	x2−x+1

	1		2x−1		3		1
=		∫		dx +		∫		dx
	2		x2−x+1		2		x2−x+1

zajmijmy się 1 całką korzystając z podstawienia x²−x+1 = t, i jego pochodnej (2x−1)dx = dt, podstawmy:

	2x−1		dt
∫		dx = ∫		= ln|t| = ln|x2−x+1|
	x2−x+1		t

a teraz drugą całką:

	1		1
∫		dx = ∫		=
	x2−x+1		1   3   (x− )2 +   2   4

	1		3
→ x−		= √		t → obie strony różniczkujemy:
	2		4

	3
→dx = √		dt a całka wygląda tak:
	4

	3   √ dt   4
= ∫		=
	3   3   t2+ 4   4

	1
korzystam z tego że znam pochodną na (arctgx) =
	x2+1

	3   √ dt   4
a całka jest odwrotnością pochodnej więc ∫		=
	3   3   t2+ 4   4

	1		1   x−   2
=		arctg(		)
	3   √   4		3   √   4

Ostatecznie:

	x+1
∫		dx =
	x2−x+1

	1		1   x−   2
=		ln|x2−x+1| + √3arctg(		) + C
	2		3   √   4

Mam nadzieję, że się nigdzie nie pomyliłem, sprawdź mnie

Nie umiem matematyki: Pomocy x²−1/x−1

huehuehue:

	x2−1		(x+1)(x−1)
∫		dx= ∫		dx=....
	x−1		x−1