chichotka: Podaj jawny wzór na Sn oraz udowodnić indukcyjnie jego poprawność. an=4an-1+2an-2, a0=0, a1=1

Basia: na miłość boską co Wy studiujecie? nie pomogę dopóki się nie dowiem (zapisałam to sobie, ale to już jutro ok?)

Basia: przyjmujemy, że a_n=α*qⁿ z wzoru rekurencyjnego mamy α*qⁿ=4α*q^n-1+2α*q^n-2 /:α*q^n-2 q²=4q+2 q²-4q-2=0 Δ=16-4*1*(-2) Δ=16+8 Δ=24 √Δ=√24=√4*6=2√6 q₁=(4-2√6)/2=2-√6 q₂=(4+2√6)/2=2+√6 a_n=α*(2-√6)ⁿ+β*(2+√6)ⁿ a₀=α+β=0 a₁=α*(2-√6)+β*(2+√6)=1 β=-a α*(2-√6)-α*(2+√6)=1 α*(2-√6-2-√6)=1 α*(-2√6)=1 α=-1/2√6 β=1/2√6 a_n=-1/2√6(2-√6)ⁿ + 1/2√6(2+√6)ⁿ a_n=1/2√6*[ (2+√6)ⁿ - (2-√6)ⁿ ] a_n=√6/12*[ (2+√6ⁿ - (2-√6)ⁿ ] do dowodu indukcujnego biporę wzór z przdostatniej linijki, jest mniej elegancki, ale łatwiej liczyć

Basia: dowód indukcyjny na razie mi nie wychodzi; muszę dłużej pomyśleć

Basia: dowód indukcyjny: 1. n=0 L=a₀=0 P=1/2√6* [ (2+√6)⁰ - (2-√6)⁰ ]=1/2√6*[1-1]=0 L=P 2. Założenie: a_n-2=1/2√6*[ (2+√6)^n-2 - (2-√6)^n-2 ] a_n-1=1/2√6*[ (2+√6)^n-1 - (2-√6)^n-1 ] Teza: a_n=1/2√6*[ (2+√6)ⁿ - (2-√6)ⁿ ] dowód: na mocy wzoru rekurencyjnego i założenia mamy a_n=4*1/2√6*[ (2+√6)^n-1 - (2-√6)^n-1 ] + 2*1/2√6*[ (2+√6)^n-2 - (2-√6)^n-2 ]= 1/2√6*[ 4(2+√6)^n-1 + 2(2+√6)^n-2 - 4(2-√6)^n-1 - 2(2-√6)^n-2 ]= 1/2√6*[ (2+√6)^n-1*(4+2/(2+√6) - (2-√6)^n-1*(4+2/(2-√6) ] 4+2/(2+√6)=(8+4√6+2)/(2+√6)=(10+4√6)/(2+√6)= [(10+4√6)(2-√6)]/[(2+√6)(2-√6)]= (20-10√6+8√6-24)/(4-6) = (-4-2√6)/(-2)=2+√6 analogicznie 4+2/(2-√6)=(8-4√6+2)/(2-√6)=(10-4√6)/(2-√6)= [(10-4√6)(2+√6)]/[(2-√6)(2+√6)]= (20+10√6-8√6-24)/(4-6) = (-4+2√6)/(-2)=2-√6 stąd a_n=1/2√6*[ (2+√6)^n-1*(2+√6) - (2-√6)^n-1*(2-√6) ]= 1/2√6*[ (2+√6)ⁿ - (2-√6)ⁿ ] c.b.d.o.

Basia: a jeśli nie napiszecie na jakiej uczelni i na jakim kierunku studiujecie to Was myszy zjedzą Uniwersytet Wrocławski się nisko kłania Dobranoc

Basia: P.S. to wszystko jest bardzo mało czytelne; tego rodzaju wzory powinno się pisać w Tex-u, wtedy są kreski ułamkowe, odpowiednio duże nawiasy itp., ale w tych okienkach chyba nie da się użyć Tex-a, w każdym razie mnie się nie udało;

chichotka: Dzięki Basia