ciagi miśka: Wyznacz wszytskie wartości parametru m, dla których instnieje takie x, że liczby 5^1−x+5^1+x, 0,5m , 25^x+25⁻x są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. wskazówka jest taka: wykaż, że jeśli a>0 to a^x+1/a^x ≥2 prowsze o pomoc, zupełnie nie wiem jak sie do tego zabrac

miśka: i w trzecim wyrazie ciągu pomyliłam sie w zapisie powinno byc 25^x+25^−x

Jack: przedstaw 25^x jako 5^(...) 25^x+25^−x −0,5m=0,5m−5^1−x+5^1+x z tych piątek zrób a*5^x lub b*5^−x. Poupraszczaj i zastanów się nad sensownym podstawieniem.

miśka: i zostaje mi postać: m−5*5^−x−5*5^x−5^2x−5^−2x= 0 co z tym dalej?

Jack: 5*(5^x+5^−x)+25^x+25^−x=m

	1
Wiemy, że jeśli a>0 to ax+		≥2
	ax

dla x≠0 mamy 5^x+5^−x≥2 dla x=0 mamy 5^x+5^−x=2 Analogicznie dla 25^x+25^−x

	1
Wiemy, że jeśli a>0 to ax+		≥2 (□)
	ax

Zatem dla x=0 mamy: 5*2+2=m ⇒m=12 Jeśli x≠0, to m>12 (bo 5*(5^x+5^−x)+25^x+25^−x>12) Odpowiedź będzie taka: dla m≥12 istnieje x taki, że wspomniane wyrazy tworzą ciąg arytm. Dowód (□): Niech a>0.

	1
ax+		≥2 \ * ax
	ax

a^2x+1≥2a^x a^2x−2a^x+1≥0 (a^x−1)²≥0 ⇒ zawsze spełnione koniec dowodu.