wielomiany Kinga: Proszę o wyliczenie pierwiastków x³−6x²+11x−6≥0 x³+3x²−13x−15≥0

Godzio: x³ − 6x² + 6x + 5x − 1 − 5 ≥ 0 x³ − 1 −6x(x−1) + 5(x−1) ≥ 0 (x−1)(x²+x+1) − 6x(x−1) + 5(x−1) ≥ 0 (x−1)(x² + x + 1 − 6x + 5) ≥ 0 (x−1)(x² − 5x +6) ≥ 0 (x−1)(x−3)(x−2)≥ 0 x³ + x² + 2x² + 2x − 15x − 15 ≥ 0 x²(x+1) + 2x(x+1) − 15(x+1)≥ 0 (x+1)(x²+2x−15) ≥ 0 (x+1)(x+5)(x−3) ≥ 0

Kinga: dziękuję!

Marcin: Pierwiastkami wielomianu są takie wartości dla których wielomian przyjmuje wartość 0. Liczbami całkowitymi, które możesz "podejrzewać", że są pierwiastkami są dzielniki wyrazu wolnego ( w tym wypadku liczby 6, czyli −6,−3,−2,−1,1,2,3,6 ). Równanie może posiadać pierwiastek wymierny pq, gdzie pq jest ułamkiem nieskracalnym, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a q jest dzielnikiem współczynnika stojącego przy najwyższej potędze wielomianu. I dla pierwszego przykładu są to liczby x=3 x=2 x=1 Pamiętaj, że w zadaniu jest nierówność Miłego.

Godzio: 1 mozna bylo jeszcze inaczej x³ − x² − 5x² + 5x + 6x − 6 ≥ 0 itd

Gustlik: Najszybciej schematem Hornera. x³−6x²+11x−6≥0 Pierwiastków szukasz wśród podzielników wyrazu wolnego, czyli −6 − mogą być ona dodatnie i ujemne: Z = {1. −1. 2. −2. 3, −3, 6, −6} Robisz schemat Hornera i wstawiasz pod puste pole oznaczone W(x) pierszy z podzielników, np. 1 − czyli dzielisz wielomian schematem Hornera przez dwumian (x−1). Na końcu dolnego wiersza jest zawsze reszta z dzielenia − ma być ona równa 0. Jeżeli nie − wstawiasz do schematu następne podzielniki, aż otrzymasz resztę 0. U góry wpisujesz współczynniki wielomianu, czyli 1, −6, 11, −6. Pierwszy współczynnik przepisujesz do wiersza poniżej. Następne liczysz wg reguły: podzielnik (czyli ten pod W(x))*ostatni zanleziony wyraz z dołu + następny z góry, czyli: 1*1+(−6) = 1−6 = −5 1*(−5)+11 = −5+11 = 6 1*6+(−6) = 6−6 = 0 Reszta z dzielenia W(x) przez (x−1) wynosi 0, zatem zgodnie z twierdzeniem Bezout x=1 jest pierwiastkiem. Schemat Hornera dla tego wielomianu wygląda tak: W(x): 1 −6 11 −6 ← współczynniki W(x) 1 1 −5 6 0 ← W(1) = 0, 1 jest pierwiastkiem Liczby 1, −5, 6 w środkowych kolumnach (zaznaczone na czerwono) to współczynniki wielomianu będącego wynikiem dzielenia W(x) przez (x−1). Ponieważ schemat Hornera obniża stopień W(x) o 1, otrzymujesz funkcję kwadratową x²−5x+6. Nasza nierówność wygląda tak: (x−1)(x²−5x+6) ≥ 0 Ze schematu Hornera masz jeden pierwiastek x=1. Rozwiązujesz funkcję kwadratową: Δ=b²−4ac = (−5)²−4*1*6 = 25−24 = 1 √Δ = 1

	−b−√Δ		5−1		4
x1 =		=		=		= 2
	2a		2		2

	−b+√Δ		5+1		6
x2 =		=		=		= 3
	2a		2		2

Masz więc pierwiastki: x=1, x=2, x=3. Nanosisz teraz te pierwiastki na oś OX, rysujesz wykres z prawej strony zaczynając od góry, bo współczynnik kierunkowy wielomianu (ten przy najwyższej potędze x) czyli a jest dodatni. Ponieważ wszystkie pierwiastki są 1−krotne, wykres przetnie oś OX w każdym z nich. Nie będzie odbicia wykresu od osi, bo nie ma pierwiastków o krotności parzystej. Zaznaczasz pierwiastki zamalowanymi kropami, bo masz znak ≥. Rozwiazaniem będzie: x E <1, 2> U <3, +∞) − przedziały domknięte, bo masz ≥. (E − należy) Drugą nierówność zrób podobnie − znajdź podzielniki −15 i wstawiaj do schematu Hornera, aż otrzymasz resztę 0. Wyjdzie Ci funkcja kwadratowa, dalej Δ, x₁ i x₂. Schemat Hornera w połączeniu z twierdzeniem Bezout to najszybszy sposób na rozkład wielomianów na czynniki, jeżeli współczynniki są tak dobrane, że nie pasuje inna metoda, np. grupowanie wyrazów, wyłączanie czynnika przed nawias itp.