zad matthew: Cześć, mam takie zadanie: Wielomian f, którego fragment wykresu przedstawiono na rysunku spełnia warunek f(0) = 90. Wielomian g dany jest wzorem g(x) = x³ − 14x² +63x −90. Wykaż, że g(x) = − f(−x) dla x ∊R Jak mam to wykazać? Po prostu znależć miejsca zerowe g(x) i wykres przedstawić na tej samej osi co f(x) ? Mam jeszcze takie zadanie: ozwiąż równanie: 4cos²x = 4sinx+1 w przedziale <0, 2π> zrobiłęm tak: 4cos²x = 4sinx+1 4(1−sin²x) − 4sinx −1= 0 4 − 4sin²x − 4sinx −1= 0 −4sin²x − 4sinx + 3 = 0 t = sinx −4t² − 4t +3 = 0 Δ = 64 √Δ = 8

	1		3
t1 =		t2 = −
	2		2

	1		3
sinx =		sinx = −
	2		2

brak rozwiązań

	π
x1 =
	6

	π		5
x2 = π −		=		π
	6		6

	π		5
Odp: x =		+ 2kπ, x =		π + 2kπ
	6		6

Bardo proszę o sprawdzenie i podpowiedź do zadania pierwszego Z góry dziękuję

matthew: Mam jeszcze takie zadanie:

	√2
Wyznacz dziedzinę i najmniejszą wartość funkcji: f(x) = log		(8x − x2) z tym, że
	2

	√2
		jest w indeksie dolnym logarytmu
	2

a>0 b>0 a≠0

√2
	>0 8x − x2>0
2

√2
	≠0 −x2 + 8x >0
2

x(−x +8)>0 x = 0 x = 8 x∊(−∞,0)∪(8,+∞)

	√2
D∊(		, 8)∪(8,+∞)
	2

Bardzo proszę o sprawdzenie... Nie wiem jak zabrac sie za wartość....

matthew:

	√2
Ajć pomyliłem się przy tej dziedzinie. Jednak wyszło mi D = (		,8)
	2

Proszę o pomoc

Jack: 1) z rysunku można odczytać punkty zerowe x=−6, −5, −3. Zatem nasza funkcja ma postać f(x)=a(x+6)(x+5)(x+3) Z tego że wiemy, że f(0)=90 wyliczymy a. Potem należy wymnożyć te nawiasy i w ten sposób prosto już będzie wykazać, że g(x) = − f(−x) . 2) wg mnie ok 3) narysuj sobie wykres funkcji x(−x+8) i zauważ jak się zmienia monotoniczność tej funkcji albo odczytaj ch−czne wartości tej funkcji i zobacz się zachowuje log dla tych wartości.

matthew: Ok. dziekuję wracając jeszcze do tego trzeciego zadania, dziedzina jest dobrze odczytana?

Jack: W dziedzinie ramiona będą szły w dół... więc x∊(0,8).

matthew: Tak sie zastanawiam nad tym pierwszym zadaniemi w sumie w dalszym ciągu nie wiem jak mam to wykazać..... Zrobiłem wszystko, wyszło mi że f(X) = x³ +14x²+63x +90 Jak mam to wykazać....? Czy dowodem na to są te same miejsca zerowe o przeciwnych znakach? mam narysować obydwa wykresy aby to udowodnić? NIe wiem... proszę o pomoc

Jack: a wyjdzie 1 więc będziemy mieli f(x)=x³+14x²+63x+90 (o ile dobzre policzyłem) zatem f(−x)=−x³+14x²−63x+90 stąd −f(−x)=x³−14x²+63x−90 = g(x)

matthew: NIe wiem jak wyznaczyć tą wartość logarytmu.... NIe rozumiem, mam narysować parabolę x(−x+8)? wtedy f. rosnąca byłaby dla x∊(−∞,4) malejąca dla x∊(4, +∞) .... Proszę o pomoc

matthew: Mam jeszcze takie zadanie: Liczby x₁ = 5 +√23 i x₂ = 5 − √23 są rozwiązaniami równania x² −(p² + q²)x + (p+q) =0 z niewaiadomą x. Oblicz wartości p i q NIe wiem x₁ i x₂ to miejsca zerowe Czy mam je podstawić do wzoru na postać iloczynową i obliczyć? współczynnik "a" to chyba 1.... Proszę o pomoc

Tomek.Noah: x₁ i x₂ to pierwiastki rownania tzn ze jak wstawisz pod miejsce x to ma ci wyjsc zero a wiec x do rowania masz wtedy 2 rowania i 2 nie wiadome czy zadanie do zrobienia

Godzio: z Vieta najlepiej

	c
x1 * x2 =
	a

25 − 23 = p + q

	−b
x1 + x2 =
	a

10 = p² + q² 2 = p+q 10 = p² + q²

matthew: Czyli jakbym zrobił tak: y = (x − 5 − √23)(5 − 5 +√23) = x² − 10x + 2 wychodzi z tego że p² + q² = 10 oraz p + q = 2, ale czy to jest możliwe zeby coś do kwadratu dodać coś do kwadratu wyszło 10 p i q muszą wynosić 1, 2 albo 0, ponieważ wynika to z p + q = 2, ale w takim razie nie byłoby chyba mozliwe, aby z takich liczb podniesionych do kwadratu wyszła dziesiątka..... wiecie o co mi chodzi...?

matthew: możecie mi coś wiecej powiedziec na temat tego drugiego zadania z logarytmem, ponieważ nie bardzo rozumiem to co napisał Jack Dzieki za odpowiedzi

Godzio: czemu nie możliwe ? p = 2−q 10 = (2−q)² + q² 10 = 4 − 4q + 2q² 2q² − 4q − 6 = 0 q² − 2q − 3 = 0 (q−3)(q+1) = 0 q = 3 v q = −1 q = 3 => p = −1 q = −1 => q= 3

matthew: Ok. przekonałeś mnie

matthew: Mam jeszcze takie zadanie: W ostrosłu[pie prawidłowym czworokątnym dane są H − wysokość ostrosłupa oraz α − miara kąta utworzonego przez krawędź boczną i krawędź podstawy (45^o<α>90^o).

	4		H3
Wykaż, ze objętość V tego ostrosłupa jest równa		*
	3		tg2α−1

Zrobiłem tak:

	1
V =		* Pp * H
	3

4		H3		PpH
	*		=		/ *3
3		tg2α−1		3

4H3
	= PpH
tg2α−1

	4H3		1
PpH =		/ *
	tg2α−1		H

	4H3
Pp =
	(tg2α−1)H

	4H2
Pp =
	tg2α−1

	1		4H2		4H3		4		H3
V =		*		* H =		=		*
	3		tg2α−1		3(tg2α−1)		3		tg2α−1

NIe jestem pewny czy to ma właśnie tak wyglądać... proszę o pomoc

Jack: Z tego co widzę zacząłeś rozwiązywać zadanie, zakładając to do czego masz dopiero dojść! Czemu zaraz po napisaniu wzoru na objętość piszesz:

4		H3
	*		=.... ? Skąd to wiesz
3		tg2α−1

matthew: ok to moment bo chyba wiem jak to znaleźć

matthew: tylko mam pytanie, ile w końcu wynosi α

Debek : Możecie zerknąć na moje zadanie ?

matthew: tam powinno być<45^o<x<90^o>

matthew: Zacząłem tak...

	a√2
f =
	2

	a√2
c2 = H2 + (		)2
	2

	2a2
c2 = H2 +
	4

c = √H² + ¹₂a²

	a   2
sinα =
	√H2 + 12a2

i dalej nie wiem, bo nie wiem ile wynosi α <45^o<α<90^o>....

Jack:

	d*√2
1. W podstawie mamy kwadrat więc przekątna d ma wzór d=a√2 ⇒a=
	2

	h
2. tgα=
	1   a 2

	2h
a=
	tgα

zatem z Tw. Pit.:

	a2
H2+		=h2
	4

	4h2
h2−		=H2
	4*tg2α

	1
h2(1−		)=H2
	tg2α

	H2		H2
h2=		=		=
	1   1−   tg2α		tg2α−1   tg2α

	H2*tg2α
=		.
	tg2α−1

	2h
Pole podstawy: Pp=a2=(		)2=
	tgα

	H2*tg2α		1		H2
=4		*		=4
	tg2α−1		tg2α		tg2α−1

	4		H3
Stąd V=		*
	3		tg2α−1

Jack: ta uwaga o przekątnej w podstawie jest oczywiście zbędna − to wynik wcześniejszych prób

matthew: ok dzieki mam jeszcze jedno zadanie:

	2
Dane jest równanie |		+ 3| = p z niewiadomą x. Wyznacz liczbę rozwiązań tego równania w
	x

zależności od parametru p. proszę o pomoc

krokus:

	2
f(x) = I		+3I −−− czerwony wykres
	x

g (x)= p −−− zielone wykresy dla p€( −∞, 0) −−− brak rozwiązań dla p=0 v p=3 −−− 1 rozwiązanie dla p€( (0, 3) U ( 3 , ∞) −−− 2 rozwiązania

Mateusz: W zadaniu 1 troche sie pospieszyliscie bo nie jest napisane o jaki wielomian chodzi tzn jakiego stopnia załozyliscie ze chodzi o wielomian 3 −go stopnia to ma wynikac z tresci zadania inaczej jest takich wielomianów nieskonczenie wiele.

Jack: z rys "widać" że jest trzeciego. Po pierwsze, gdyby było inaczej rysunek, byłby bezużyteczny. Po drugie dlatego, że gdyby mógł być innego stopnia, nie do udowodnienia byłaby równość g(x)=−f(−x).

Wydi: https://matematykaszkolna.pl/strona/1771.html